wordt zand genoemd, dat talrijke donkergroene glauconiet-korrels bevat. In Zuid-Limburg komt het groenzand van Vaals voor, dat tot het Onder-Senoon (Boven-Krijt) behoort.GROEP
1, wiskunde
is een begrip, dat door Galois* (1831) is ingevoerd; sindsdien behoort de studie van de groepentheorie tot de zeer belangrijke onderwerpen van de moderne wiskunde.
Een verzameling G van elementen, waarvan de aard niet nader omschreven is, wordt een groep genoemd, wanneer aan de volgende vier groepaxioma’s is voldaan: Gi. Er bestaat een voorschrift, met behulp waarvan men aan èlk tweetal elementen a en b van G ondubbelzinnig een element van G kan toevoegen. Dit element, dat dus door een zgn. compositie voorschrift uit a en b is te bepalen, noemt men het „product” van a en b en wordt aangeduid door a.b of ab. Van een vermenigvuldiging in de gewone zin van het woord is meestal geen sprake, omdat — zoals aanstonds uit voorbeelden zal blijken — de elementen meestal geen gewone getallen voorstellen. G2. De productvorming is associatief, m.a.w.: ab.c — a.bc voor elk drietal elementen van G. G3. Er bestaat in G een zgn. identiteit of één-element e in G met de eigenschap: ae = ea = a voor elk element a van G. G4. Elk element a in G bezit een zgn. invers element, voorgesteld door a-1, met de eigenschap: a-1.a = a. a-1 = e.
Uit de axioma’s volgt, dat er slechts één identiteit in G bestaat en dat elk element slechts één invers element bezit. De productvorming behoeft niet commutatief te zijn; geldt a.b = b.a voor elk paar elementen a en b van G, dan spreekt men van commutatieve of Abelse groepen.
Voorbeelden:
1. G is de verzameling van de gehele getallen, terwijl het compositie voorschrift de optelling is; de identiteit is het getal o, terwijl het getal a tot inverse -a heeft. Deze groep is commutatief.
2. G is de verzameling van de getallen (1, 2, 3, 4, 5,6), algemener (1,2,3,....,p-2,p-1), waarin p een priemgetal voorstelt; het compositievoorschrift is de gewone vermenigvuldiging modulo 7 (algemener mod p); identiteit is het getal 1, terwijl bijv. 3 tot inverse heeft: 5, want 5.3 = 1 (mod 7).
3. G is de verzameling van alle permutaties van n elementen; deze groep, de zgn. symmetrische groep Sn van n elementen, bestaat uit n\ elementen;
identiteit is de permutatie
( 1,2,3,.....,n )
1,2,3,.....,n
terwijl de inverse van
( 1,2,3……,n )
is ( a1,a2,a3,.....,an )
a1,a2,a3,.....,an 1,2,3,.....,n
Deze groep is in het algemeen niet commutatief, want voor n = 4 is bijv. (men voert bij de productvorming de permutaties van rechts naar links uit). 4. G bestaat uit 4 elementen e, a, b, c, terwijl de producten uit nevenstaande tabel zijn af te lezen.
Zo is dus: a2 = a . a = b2 = c2 = e en ab = ba = c, enz.
Deze groep heet: viergroep van Klein. 5.G bestaat uit alle verplaatsingen van het platte vlak in zichzelf. Het „product” van twee verplaatsingen a en b is een verplaatsing, die men krijgt door de verplaatsing b te laten volgen door de verplaatsing a; het resultaat is dan verkrijgbaar door één enkele verplaatsing. Identiteit is hier de „verplaatsing”, die alle punten op hun plaats laat. De groep is niet commutatief. Het tweede (evenals het derde en vierde) voorbeeld was een voorbeeld van een eindige groep, d.w.z. een groep met eindig veel elementen. Het aantal elementen van een eindige groep noemt men de orde van die groep.
Oneindige groepen (zoals voorb. 1 en 5) heten groepen van oneindige orde. Het gebeurt vaak, dat een groep G deelverzamelingen bezit die, op grond van de in G geldende voorschriften, ook groepen zijn. Dergelijke deelverzamelingen noemt men ondergroepen van G.
Voorbeelden:
6. In elke groep vormt de identiteit e zowel als de gehele groep G een ondergroep van G.
7. In voorbeeld 1 vormen de even getallen een ondergroep van de groep der gehele getallen; de oneven getallen vormen in die groep geen ondergroep.
8. In de symmetrische groep Sn (zie voorbeeld 3) vormen de permutaties met een even aantal inversies een ondergroep van de orde ½. n!, genaamd alternerende groep.
9. Wanneer men een element a uit een groep G kiest, dan brengt dit element a een ondergroep in G voort, nl. de ondergroep, bestaande uit alle gehele machten van a: ..., a-1, a° = e, a, a2, …
Een groep, bestaande uit alle gehele machten van één element noemt men een cyclische groep. Eén element a van G brengt dus een cyclische ondergroep voort. Wanneer twee groepen G en G' de eigenschap bezitten, dat aan elk element a van G ondubbelzinnig één element a' van G' is toegevoegd, zodat elk element van G' ook minstens eenmaal het toegevoegde element (beeld) is van een element van G, terwijl uit a→a', b→b' volgt ab→a'b', dan noemt men de groep G' een homomorph beeld van G. Is de afbeelding van G op G' eenduidig, dan noemt men G en G' twee isomorphe groepen. Hoewel de betekenis van het compositievoorschrift en de aard van de elementen van G en G' kan verschillen, kunnen G en G' isomorph zijn. Zo is de in voorbeeld 1 genoemde groep G van de gehele getallen isomorph met de groep G', bestaande uit alle gehele machten van een element a. In G is het compositievoorschrift: de optelling, in G' de gewone vermenigvuldiging.
Voegt men nu aan n uit G het element an uit G' toe, dan overtuigt men zich direct van de juistheid van de bewering. Wanneer van een groep G alle rekenvoorschriften voor de elementen bekend zijn, dan kan men door middel van een passend voorbeeld betekenis aan de elementen gaan hechten en men spreekt dan van een representatie van de groep G.
De studie van de abstracte groepen heeft zich, op de grondslagen door Galois (met Lagrange, Cauchy en Abel als voorlopers) gelegd, in diverse richtingen ontwikkeld; talloze wiskundigen, onder wie Jordan, Serret, Lie en Klein, gaven belangrijke bijdragen tot de ontwikkeling van de groepentheorie, zodat deze theorie op velerlei terrein, zoals dat van de algebraïsche vergelijkingen, de functietheorie, invariantentheorie, meerdimensionale meetkunde, topologie, toepassing heeft gevonden.
PROF. DR F. LOONSTRA
Lit.: E. Galois, Œuvres (1846); Jordan, Traité des substitutions et des équations algébriques (1870); S. Lie en F. Engel, Theorie der Transformationsgruppen (3 dln, 1888-1893) ; W.Burnside, Theory of groups of finite order (1897) ; L. Bianchi, Lezioni sulla teoria dei gruppi continui finiti di trasformazioni (1918); S. Lie, Die Grundlagen für die Theorie der unendlichen continuierlichen Transformationsgruppen (1927); B.
L. van der Waerden, Moderne Algebra (2 dln, 1930, herdr. 1950); H. Weyl, Gruppentheorie und Quantenmechanik (2 dln, 1931); B. L. van der Waerden, Die gruppentheoretische Methode in der Quantenmechanik (1932).
2, sociologie
De mensen leven niet als zelfstandige individuen naast elkaar, noch te zamen in één grote massa. Zij leven groepsgewijs verbonden. De groep is de algemene vorm van samenleving. Ieder mens behoort tot verschillende groepen, die hem, ieder in een ander opzicht en in verschillende mate, binden (gezin, werkgemeenschap, vriendenkring, vereniging, kerkgenootschap, volk, enz.). De groep kan een bepaalde, concrete zijn, meer of minder georganiseerd, zoals gezin* of vereniging; maar ook een onbepaalde, vage, zoals stand, taal- of cultuurgroep. Men kan de groep omschrijven als het, naar zijn aard, betrekkelijk vaste en duurzame verband dat, op grond van een bepaald gemeenschap-vormend element, een aantal mensen in een bepaald opzicht samenbindt tot een collectief geheel met eigen wezen en leven.
De groep is een collectiviteit met eigen werkelijkheid, welke hierin bestaat dat zij als zodanig een bepaalde waarde draagt, dat de leden zich daarvan bewust zijn en, in hun handelen, de groep feitelijk erkennen; dit is hun groepsbewustzijn, waaruit een onderling verbonden-zijn der leden voortvloeit. De werkelijkheid der groep krijgt vorm in haar organisatie, bestuursbevoegdheden, symbolen, enz. De waarden welke de groep draagt, zijn van de meest uiteenlopende aard; het feit dat zij in bepaald opzicht een gemeenschap* belichaamt, en daardoor de behoefte aan gemeenschap vervult, is steeds een van deze waarden en dikwijls de belangrijkste.
Uit de „waarde” welke de groep draagt, welke samenhangt met haar functie of doel, vloeien bepaalde gemeenschappelijke waarderingen voort, die maatstaven zijn voor het handelen der leden; de groep oefent, opzettelijk en onopzettelijk, een zekere „contrôle” uit op dit handelen. Deze „maatstaven” of „gedragsregels” krijgen veelal de vorm van traditie, ontstaan in het verleden, welk ver- * leden in belangrijke mate het heden van de groep mede bepaalt. Vooral de waarden, maatstaven en tradities, welke worden gedragen door historische groepen, als volk en kerk, maar ook door het gezin, dat als schakel in een groot geheel, familietradities en geldende waarden en normen draagt en overdraagt aan een jonger geslacht, zijn van grote betekenis voor cultuur en samenleving. Het vervagen van groepen en van groepsbewustzijn betekent ook het verzwakken van deze cultuurdragende functie van de groep. Tegenover de vermindering in betekenis van vroegere groepen, staat het opkomen van nieuwe groepen, bijv. in verband met de groepering van de arbeid in en om de onderneming, in vakverenigingen, enz.
De binding in de groep betekent een zekere geslotenheid naar binnen en afgeslotenheid naar buiten: een tegenstelling tot wat buiten de groep staat, welke sterker is naarmate de waarde welke de groep draagt, dieper geworteld is in het leven der leden en meer emotionele betekenis heeft. Wat buiten de groep staat is het „andere”, het vreemde — soms het vijandige. Bij religieuze en politieke groepen komt dit sterk uit; in het bijzonder bij de groep van het nationale volk.
MR J. BIERENS DE HAAN
Lit.: Art. Group in Ene. of the Social Sciences; art. Gruppe in Handwörterbuch der Soziologie; W. Mc. Dougall, The Group Mind (1927); J. Bierens de Haan, Gemeenschap en maatschappij (i939); Idem, Grondslagen der samenleving (2de dr., 1949); P.
J. Bouman, Sociologie, Begrippen en problemen (1948); Idem, Algemene Maatschappijleer (1948).
3, krijgskunde
is bij de hedendaagse infanterie de kleinste eenheid in het gevecht. Afhankelijk van de tactische inzichten in een bepaald tijdperk zijn de groepen, waaruit een kleinere infanterie-eenheid bestaat, van gelijke of van verschillende samenstelling. Groepen van gelijke samenstelling noemt men wel eenheidsgroepen.
Ca 1930 bestond de NEDERLANDSE infanteriesectie uit drie groepen, waarvan twee mitrailleurgroepen (groepen welke een lichte mitrailleur medevoeren) en een geweergroep, groepen dus van verschillende samenstelling. Ten einde de vuurkracht van de sectie te verhogen, werden de groepen later van gelijke samenstelling gemaakt, d.w.z. de sectie bestond toen uit drie mitrailleurgroepen (organisatie 1940). De groep bestond uit 1 sergeant, 1 korporaal en 9 soldaten. Thans kent de moderne organisatie van de infanteriesectie (of -peloton) geen eenheidsgroepen, doch een commandogroep, drie tirailleurgroepen en een ondersteuningsgroep. De sterkte van deze groepen bedraagt resp. 5, 9 en 9 man, groepscommandanten inbegrepen. De tirailleurgroepen voeren als bewapening een licht automatisch wapen, pistoolmitrailleurs en geweren mee, de ondersteuningsgroep beschikt over een anti-tankwapen en een mortier.
De aanduiding groep wordt ook nog gebruikt voor samenstellingen van tijdelijke aard: bijv. gevechtsgroep, vasthoudende groep, artilleriegroep enz. Moderne legermachten zijn voorts wel verdeeld in legergroepen, d.w.z. groepen van legers.
In het BELGISCHE leger wordt het woord „groep” in verschillende betekenissen gebruikt:
1. In de artillerie was de groep vóór 1940 een eenheid die 3 batterijen bevatte; er waren 4 of 5 groepen in een veldartillerieregiment. De huidige groep in de veldartillerie is samengesteld uit 2 batterijen van
4 kanons (3 batterijen in speciale eenheden); het regiment telt 3 groepen.
2. De „Brigade-Groep” is een voorlopige eenheid die de infanteriebrigade (3 bataljons) met haar steunwapens in veranderlijke proporties groepeert. Men vindt er: veldartillerie, artillerie tegen strijdwagens en tegen vliegtuigen, verkenningseenheden, genie, tanks, pelotons voor het vervoer, formaties van de gezondheidsdienst enz.
3. De groep is ook een kleine formatie, tijdelijk ingericht voor het uitoefenen van het commando, voor de terreinverkenningen, mededeling der orders, het gevecht. Men onderscheidt: de bevelsgroep (Brits O Group), de verkenningsgroep (Brits R Group), de strijdgroep (Brits F Group).
4. Bij de luchtmacht is de groep het aequivalent van de squadron in de R.A.F., die uit 2 escadrilles (Flights) samengesteld is. In de R.A.F. is de Group een grote vliegformatie die formaties voor verscheidene opdrachten groepeert.
In het algemeen dient te worden opgemerkt dat, vóór 1940, het woord groep gebruikt werd om een organiek homogeen onderdeel van het leger aan te duiden: artilleriegroep, ruitergroep, gevechtsgroep bij de infanterie. Volgens het Britse voorbeeld is de groep thans een al dan niet voorlopige formatie, die ongelijksoortige eenheden omvat om er de coördinatie van te verzekeren.
5. Bij de Gendarmerie (of Rijkswacht) is de Groep de territoriale organisatie, die al de compagnieën, districten, kantons van een provincie omvat.
—(4, zeemacht), verband van twee of drie oorlogsschepen, onderdeel van een divisie, of enkele schepen welke te zamen voor een speciaal doel optreden.
