of mathesis is het geheel der gevolgtrekkingen, die op een door vaste wetten beheerste wijze van redeneren (z bewijs, eigenschap) afgeleid kunnen worden uit algemene of bijzondere onderstellingen, axioma’s, definities of gegevens genaamd, die uitsluitend betrekking hebben op het al of niet onderscheidbaar en herkenbaar zijn van (overigens onbepaalde) voorwerpen, verschijnselen of symbolen, eenheden of elementen genaamd, en op het al of niet bestaan van (eveneens overigens onbepaalde) betrekkingen of relaties tussen deze elementen. Indien deze gevolgtrekkingen op aan de ervaring ontleende voorstellingen of begrippen worden toegepast, spreekt men van toegepaste wiskunde (z mechanica, natuurkunde en waarschijnlijkheidsrekening), in het tegenovergestelde geval van zuivere wiskunde, die, voor zover daarbij niet van woorden uit de gewone, levende taal wordt gebruik gemaakt, doch uitsluitend van bepaalde, overigens zinledige tekens of symbolen, formalistische wiskunde of formalistiek genoemd wordt.
Voorts moeten de in gewone woorden uitgedrukte regels omtrent het gebruik dier symbolen, de metamathematiek, ook tot de wiskunde gerekend worden, terwijl de geesteswerkzaamheid, die door de metamathematiek en de formalistiek wordt uitgedrukt of begeleid, intuïtionistische wiskunde genoemd wordt (z filosofie, wiskunde).De zuivere wiskunde wordt verdeeld in een algemeen gedeelte, verzamelingsleer of topologie genaamd, en de leer der getallen, onderverdeeld in rekenkunde, algebra, differentiaal- en integraalrekening en functietheorie, terwijl de op ruimtelijke begrippen betrekking hebbende meetkunde, voor zover zij van het empirisch karakter dezer begrippen geen gebruik maakt, eveneens tot de zuivere wiskunde behoort.
GESCHIEDENIS
In de Oudindische en Babylonische geschriften wordt reeds van getallen en hun betrekkingen gewag gemaakt en met name de tijdrekening schijnt bij de Babyloniërs reeds tot een zekere ontwikkeling te zijn gekomen, maar eerst bij de Egyptenaren kan van een enigszins stelselmatige beoefening van wiskundige problemen gesproken worden (z Rhind-papyrus). Ca 400 à 500 v. Chr. kwam in Griekenland de wiskunde, op de door de Egyptenaren gelegde grondslag, tot grote bloei en vooral de meetkunde en de elementaire getallenleer bereikten in de eerstvolgende eeuwen een hoge trap van ontwikkeling (men denke aan de beoefenaars: Apollonius van Perga, Archimedes, Diophantos, Eratosthenes, Euklides, Eudoxos, Hero van Alexandrië, Hipparchos, Pappus en Pythagoras).
De op de bloeitijd der Griekse cultuur volgende Romeinse hegemonie bracht deze ontwikkeling vrijwel tot stilstand. Na de val van het Romeinse Rijk echter vonden de door de Grieken ontwikkelde wiskundige theorieën nieuwe belangstelling en wel bij de Arabieren; hun kalief Haroen al-Rasjid (786-809 n. Chr.) liet Euklides en Ptolemaeus in het Arabisch vertalen en talrijke Arabische geleerden (Mohammed Alchwarizmi, Al Batani, Al Biroeni e.a.) bestudeerden ijverig zowel de geschriften der Griekse wiskundigen als de Oudindische wiskundige tradities. Zij voerden een meer algemene en symbolische behandeling van rekenkundige en meetkundige problemen in, waarvoor later de naam algebra (van het Arabische Aldsjebr) in zwang kwam. In de 12de eeuw kwam de wetenschap der Arabieren, o.a. door tussenkomst van Joodse schrijvers als Ibn Esra, Mizrachi en Maimonides, naar Europa, waar tot nu toe de kloostergeleerden hun kennis uitsluitend aan gebrekkige Romeinse bronnen ontleend hadden en spoedig daarna vonden vooral de algebra en de rekenkunde hier talentvolle beoefenaars: vergelijkingen van de tweede en derde graad werden opgelost, het rekenen met het decimaalstelsel drong allengs door en het getalbegrip werd uitgebreid door toevoeging van de onmeetbare en de negatieve getallen (een begrip, dat trouwens aan de Oude Indiërs niet geheel vreemd was), terwijl voor de latere theorie der complexe getallen de grondslagen werden gelegd (z Cardano, cijfers, Regiomontanus, Tartaglia, Vieta en Leonardo da Vinci).
Een geheel nieuw tijdperk in de geschiedenis der wiskunde echter brak aan, toen, wellicht onder de invloed der ontwikkeling van de wereldhandel, die op de ontdekking van Amerika was gevolgd, zowel op astronomisch als natuurkundig gebied belangrijke ontdekkingen werden gedaan, die niet alleen aan een meer bruikbaar rekenapparaat (uitvinding der logarithmen door Napier in 1614), maar bovenal aan een verderstrekkend wiskundig begrippenstelsel behoefte deden gevoelen. In deze behoefte werd ten volle voorzien door de beide grote ontdekkingen der 17de eeuw: die der analytische meetkunde door Descartes en die der differentiaal- en integraalrekening door Leibniz en Newton. Deze nieuwe denkbeelden voerden al spoedig tot een belangrijke uitbreiding van de wiskundige gezichtskring, waartoe de allengs nauwere samenwerking tussen de geleerden der verschillende landen (aanvankelijk door onderlinge correspondentie, later ook door middel van tijdschriften) in belangrijke mate bijdroeg. De analytische meetkunde werd aangevuld door de projectieve en de beschrijvende meetkunde (z Desargues, Monge en Pascal) en de differentiaal- en integraalrekening, ook wel infinitesimaalrekening genoemd, vond steeds meer toepassing op meetkundige en natuurkundige theorieën (z Alembert, d’, Bernoulli, Lagrange, Taylor en variatierekening). Ook op het gebied der getallenleer werden belangrijke vorderingen gemaakt (z Euler en Fermat) en de beoefening van de geschiedenis der wiskunde als zelfstandige wetenschap nam een aanvang.
De grote veranderingen op maatschappelijk en cultureel gebied, die de overgang der 18de naar de 19de eeuw hebben gekenmerkt (Franse Revolutie, filosofische stelsels van Hegel en Kant), bleven ook op de ontwikkeling der wiskunde niet zonder uitwerking. Een meer critische en streng logische bewijsmethode deed haar intrede (vooral onder de invloed van Gauss) en de niet-euclidische en meer-dimensionale meetkunden kwamen tot ontwikkeling (z Bélyai, Lobatsjewsky en Riemann). De infinitesimaalrekening in vereniging met de door Galois gegrondveste groepentheorie leidde tot een meer algemene beschouwing van het onderling verband van veranderlijke (hetzij reële of complexe) grootheden: de functietheorie (z Abel, Cauchy, Jacobi en Weierstrass), terwijl de invoering van de invariantentheorie (z Cayley, Sylvester en Glebsch) en die der vectoralgebra (z Grassmann en Hamilton) machtige hulpmiddelen bleken bij meetkundige onderzoekingen.
Ook de grondslagenleer der wiskunde, die sedert de klassiek Griekse periode vrijwel op dezelfde hoogte was gebleven, werd, inzonderheid in de laatstverlopen halve eeuw, belangrijk uitgebreid en verdiept (z Cantor, logistiek, Peano), een ontwikkeling, die met de nieuwere inzichten op physisch gebied, die de huidige periode heeft medegebracht, ten nauwste samenhangt (L. E. J. Brouwer , filosofie der wiskunde een Wiener Kreis). Voorts werd de organisatie van de internationale samenwerking der wiskundigen door de grote toeneming van het aantal wiskundige periodieken en van de vakliteratuur, alsmede door internationale congressen, ten zeerste gebaat.
PROF. DR G MANNOITRY
Lit.: Enzycl. d. math. Wissensch. mit Einschl. ihrer Anwendungen (Leipzig 189",-1905; ook in het Fr. uitgeg.); Jahrb. üb. die Fortschritte der Mathematik (1868 en vlgg.) . Revue emestrielle des publications mathematiques (1893-1935); Zentralblatt für Mathematik und ihre Grenzgebiete (1931 en vlgg.); Mathematical Reviews (1939 en vlgg.); M. Cantor, Vorlesungen üb. Gesch. der Mathematik (4 dln, 2de dr., 1894-1908); H. G. Zeuthen, Hist. des math. dans l’Antiquité et le Moyen-Age (1902); H. de Vries, Hist. studiën (1926); E.
W. Beth, Wijsbegeerte der wiskunde (1950).
