Winkler Prins Encyclopedie

E. de Bruyne, G.B.J. Hiltermann en H.R. Hoetink (1947)

Gepubliceerd op 18-10-2023

ORDE

betekenis & definitie

(wiskunde) (Latijn: ordo = rij) is in de wiskunde de existentie van een zgn. transitieve, asymmetrische relatie tussen verschillende objecten, in die zin, dat de plaats van één object met betrekking tot de andere volkomen bepaald is; men spreekt van een orderelatie tussen of van een ordening van die objecten. Denk bijv. aan de ordening van een aantal voorwerpen, gerangschikt naar grootte, naar gewicht of naar een ander kenmerk, de ordening van de natuurlijke getallen op de gebruikelijke wijze.

De manier om een orderelatie tot stand te brengen is de volgende: men stelt een betrekking S vast tussen de elementen van een verzameling, zodat voor elk tweetal elementen a en b van de verzameling een betrekking aSb of bSa bestaat, die alleen gelijktijdig optreedt, als aen b hetzelfde element voorstellen. De relatie moet transitief zijn: uit aSb en bSc volgt aSc. De betekenis van S kan van geval tot geval verschillen: wanneer we de verzameling van de natuurlijke getallen als voorbeeld kiezen en aSb noemen, als a S b, dan krijgt 5 de betekenis van „kleiner dan of gelijk aan .Voor een axiomatische opbouw van de meetkunde heeft men „orde-axioma’s” nodig, die ons door middel van een zgn. tussenbegrip in staat stellen om elke lijn als een geordende verzameling punten op te vatten; deze tussenaxioma’s zijn — na een uitvoerig onderzoek van M. Pasch (1882) — eerst door Hilbert in zijn bekend axiomasysteem opgenomen. De betekenis van het ordebegrip in de wiskunde is eerst door de ontwikkeling van de verzamelingsleer door Georg Cantor (1845-1918) duidelijk aan het licht getreden.

Welgeordend noemt men een verzameling, waarvan elke (niet-lege) deelverzameling, dus ook de verzameling zelf, een eerste element bevat. Zo’n verzameling heeft dus niet alleen een eerste, maar ook een tweede, een derde element enz., indien de verzameling al niet na een kleiner aantal stappen is doorlopen. Door Zermelo (1904) is bewezen, dat elke verzameling zich tot een welgeordende verzameling laat ordenen, gebruik makende van het „keuzepostulaat”: is een verzameling van niet-lege verzamelingen gegeven, dan bestaat er een keuzefunctie, d.i. een voorschrift, waarmee aan ieder van die verzamelingen een van haar elementen wordt toegevoegd. Gedeeltelijk geordend noemt men een verzameling wanneer de orderelaties tussen zekere paren van de verzameling bestaan (met alle verdere genoemde eigenschappen), hoewel niet elk paar elementen geordend behoeft te zijn; denk aan de deelverzamelingen van de ruimte, de ondergroepen van een groep, verder de uitspraken in de wiskundige logica. De orde van een differentiaalvergelijking is de orde van het hoogste differentiaalquotiënt, dat in die vergelijking optreedt.

Onder de orde van een vlakke kromme verstaan we de graad van de definiërende vergelijking van die kromme. Soortgelijke definities gelden voor de orde van een ruimtekromme en van een oppervlak.

PROF. DR F. LOONSTRA

Lit.: A. Schoenflies, H. Hahn, Entwickl. d. Mengenlehre (Leipzig 1913); E. Kamke, Mengenlehre (Berlin 1928); F. Hausdorff, Grundzüge d.

Mengenlehre (New York); A. Fraenkel, Einl. i. d. Mengenlehre (New York); G. Birkhoff, Lattice Theory (New York 1948).