(wiskunde) noemt men zekere functies van een complexe veranderlijke, die hetzij dubbelperiodiek zijn, hetzij eigenschappen bezitten, die aan twee complexe perioden gebonden zijn. Men onderscheidt drie soorten van elliptische functies (die van de eerste, de tweede en de derde soort), met dien verstande dat men gewoonlijk die van de eerste soort bedoelt, wanneer van elliptische functies zonder meer sprake is.
Deze (gewone) elliptische functies dan kunnen gedefinieerd worden als dubbelperiodieke functies, die overal regelmatig zijn, behalve in een eindig aantal polen, binnen ieder periodenparallelogram. Zij kunnen worden teruggebracht tot inverse functies der elliptische integralen. De eenvoudigste zijn de drie elliptische functies van Jacobi, die op de volgende wijze worden verkregen. Is u de complexe functie, die door de elliptische integraal ഽwordt voorgesteld en dus door de substitutie kan worden gebracht, dan verkrijgt men door inversie van deze laatste φ als een functie van u, die de amplitudo van u genoemd wordt: φ = am(u). Deze functie nu is niet dubbelperiodiek (zie voor het verloop harer reële waarden de figuur), maar wel x = sin φ, als functie van u beschouwd en dus evenzo √I - x2 = cos φ en √I - k2 x2, als Δφ geschreven. Deze drie functies, die resp. de sinusamplitudo, de cosinusamplitudo en de delta-amplitudo van u genoemd worden en door de symbolen sn(u), cn{u) en dn(u) worden voorgesteld, zijn de bedoelde elliptische functies van Jacobi, waarbij het getal k als de modulus wordt aangeduid. De beide perioden dezer functies kunnen uitgedrukt worden in de beide reële grootheden k en k' (waarin k' = √ I-k2 en de complementaire modulus heet). De beide perioden van sn(u) zijn nl. 4k en 2k'i, die van cn{u) zijn 4A en sk + 2k'i en die van dn(u) zijn 2k en 2k'i. De functies van Jacobi hebben een aantal eigenschappen, die een zekere analogie vertonen met die der goniometrische functies. De voornaamste daarvan worden uitgedrukt door de zgn. grondformules en de optellingstheorema’s.
Voorts is alsjft-functie bekend de elliptische functie van Weierstrass, die door de differentiaalvergelijking (dz/du)2 = 4z3 - g2z -g3 wordt gedefinieerd, waarin gz en g, willekeurige constanten zijn.
De elliptische functies van de tweede en van de derde soort zijn functies, die aan de functionaalbetrekkingen ƒ(u + a) = m1ƒ(u) en ƒ(u + b) = m2ƒ(u) voldoen, waarin u de complexe veranderlijke voorstelt, a en b twee complexe perioden en mt en mj exponentiaalfuncties zijn en wel voor de tweede soort exponentiaalfuncties van u zelf en voor de derde soort van u + a, resp. u + b; zij worden overigens door bepaalde voorwaarden omtrent haar regelmatigheid gekarakteriseerd.
Een bijzondere elliptische functie van de derde soort, die tot uitgebreide onderzoekingen aanleiding heeft gegeven, is de zgn. thêta-functie Θ (u), die aan de betrekkingen Θ (u + 1) = e-g1πi. Θ (u) en Θ (u + a) = e-g2πi.e-nπi. Θ (a) (waarin g1 en g2 reële constanten, n een geheel getal en a een complexe periode voorstellen) voldoet en tevens een gehele transcendente functie is. De theorie der elliptische functies is in hoofdzaak door Jacobi opgebouwd, doch heeft sedertdien door de arbeid van verschillende mathematici (Weierstrass, Hermite, Betti e.a ) een grote uitbreiding ondergaan.
PROF. DR O. MANNOURY
Lit.: A. Hurwitz-R. Courant, Vorlesungen über allgemeine Funktionentheorie - Geometrische Funktionentheorie (Leipzig 1922); E. T. Whittaker and G. N. Watson, A course of modern Analysis (Cambridge Univ. Press 1946)-
