(wiskunde) zijn functies u = f (z) van een complexe veranderlijke z, die twee perioden bezitten, d.w.z., dat voor twee verschillende (in het algemeen complexe) getallen a en b de formule
f (z) = ƒ (z + a) = f (z + b) voor alle waarden van z geldig is. Van de beide perioden a en b kan ook één reëel en de ander complex zijn, maar twee reële perioden zouden òf door één periode kunnen worden vervangen (nl. indien zij onderling meetbaar zijn), òf (indien zij onderling onmeetbaar zijn) de functie (althans indien deze wordt verondersteld continu te zijn) tot een constante reduceren.
Om zich van het waardeverloop ener dubbelperiodieke functie een duidelijke voorstelling te maken, denke men zich u en z op twee afzonderlijke vlakken afgebeeld. Correspondeert dan bijv. met het punt z* in het z-vlak het punt u* in het u-vlak (dus u* = ƒ (z*)) , dan zullen ook alle punten, die door vermeerdering of vermindering van de vector Oz niet een geheel aantal malen Oa of met een geheel aantal malen Ob verkregen worden, met hetzelfde punt u* van het u-vlak corresponderen (zie congruente punten), daar immers uit de grondformule gemakkelijk kan worden afgeleid, dat
u = ƒ (z) = ƒ (z + a) = f (z + 2a) = ....
f (z + na) en u = f (z) = f (z + b) = ƒ (z + 2b) = ....
ƒ (z + mb) is, waarin n en m gehele, positieve of negatieve getallen zijn. Verdeelt men nu het z-vlak op de in de figuur aangegeven wijze in parallelogrammen (perioden-parallelogrammen genaamd), waarvan de punten na + mb de hoekpunten (periodenpunten) zijn, en laat men de onafhankelijke veranderlijke z alle punten van één der periodenparallelogrammen doorlopen, dan doorloopt u het gehele u-vlak en wel bij de eenvoudigste dubbelperiodieke functies, de elliptische functies van de eerste soort, juist tweemaal. Gaat het punt z van het ene perioden-parallelogram in een volgend over, dan wordt dus het u-vlak opnieuw door het punt u doorlopen of overdekt. Daar uit de grondformule volgt, dat ook f (z + na + mb) gelijk is aan f (z) zelf, is het duidelijk, dat ook na + mb als periode kan worden beschouwd, maar tevens, dat slechts twee perioden lineair onafhankelijk kunnen zijn (zie verder elliptische functies en P-functie).
Als de eigenlijke grondlegger van de algemene theorie der dubbelperiodieke functies is Karl Weierstrass (1815-1897) te beschouwen, ofschoon de elliptische functies reeds door Euler, Legendre, Abel en Jacobi bestudeerd waren. Intussen heeft de theorie dezer functies sedertdien door de arbeid van vele wiskundigen grote uitbreiding ondergaan.
PROF. G. MANNOURY
Lit.: Hk. de Vries, Leerb. der Diff. en Int. rekening, dl II (Groningen 1920); H. Burkhardt, Vorlesungen über Funktionentheorie; K. Weierstrass, Mathematische Werke (1894 en vlgg.).
