(1, psychologie), geestelijk vermogen als verrichting of gebeuren; ook: afhankelijkheid, afhankelijke grootheid.
Wij moeten een reactie beschouwen als de functie van de prikkel, zoals het psychophysisch paralellisme leert, d.w.z. de reactie hangt af van, wordt bepaald door de prikkel. De functionele psychologie ziet de reactie als functie van de situatie, het is het antwoord van het individu op de totaliteit van een bepaald prikkel-geheel (situatie). M.a.w. de functie is het psychisch reactieproces zelf, een psychische verrichting. Ons willen en kennen zijn verrichtingen, functies van onze geest, waarbij functie als het subjectieve element staat tegenover de inhoud, die in deze functie wordt bereikt (nagestreefd, gekend) als objectief element.
Primaire functie
Psychologische term ingevoerd door O. Gross. Het is de psychische werkzaamheid, die onze gewaarwordingen en voorstellingen uitoefenen, zolang zij in het bewustzijn aanwezig zijn. De karakterologie onderscheidt de mensen in primair en secundair functionnerenden, naar gelang naast de primaire functie de secundaire al dan niet een min of meer belangrijke rol speelt.
Secundaire functie
Term uit de karakterleer, voor het eerst gehanteerd door O. Gross. Vooral bekend uit het temperamentenschema van G. Heymans als een der 3 grondkenmerken waarnaar de personen als onderling verschillend te groeperen zijn.
Men verstaat er onder het feit, dat indrukken (zintuiglijke en gevoelsindrukken) meer of minder blijvend nawerken, de mate waarin een bepaalde bewustzijnsinhoud aanwezig blijft (perseveratie) nadat de gewaarwording of voorstelling als zodanig reeds uit het bewustzijn verdwenen is.
Men noemt iemand secundair functionnerend indien de secundaire functie een min of meer belangrijke rol speelt naast de primaire functie. Iemand is secundair functionnerend indien (niet ten gevolge van hun sterk emotionnerend karakter) alle opgedane indrukken naar de mate van hun belangrijkheid lang in het bewustzijn nawerken.
DR E. M. J. BREUKERS
(2, wiskunde): een voorschrift, waardoor de afhankelijkheid van zekere grootheden tot uitdrukking komt. De grootheid, die links van het gelijkteken staat (de zgn. afhankelijke veranderlijke), is een functie van de grootheden, die rechts van het gelijkteken staan (de zgn. onafhankelijke veranderlijken); de „waarden’ ’, die door de afhankelijke veranderlijke worden aangenomen, zijn afhankelijk van de „waarden”, die men aan de onafhankelijke veranderlijken toekent.
Men stelt zich tegenwoordig op het standpunt, dat in het functiebegrip een „toevoegingsvoorschrift” of „afbeelding” moet worden gezien; die toevoeging laat zich in het algemeen niet in een eenvoudige gedaante brengen. Zo wordt bijv. door het voorschrift f(x) = 1 voor rationale waarden van x en f(x) — o voor irrationale waarden van x een functie gedefinieerd.
Men onderscheidt daarom bij een functie drie onderdelen:
1. de definitieverzameling D, d.i. de verzameling van de grootheden, die door de onafhankelijke veranderlijken mogen worden aangenomen;
2. de beeldverzameling B, d.i. de verzameling van de grootheden, die door de afhankelijke veranderlijke grootheid mag worden aangenomen, als de onafhankelijke veranderlijken de verzameling D doorlopen;
3. het toevoegingsvoorschrift, op grond waarvan aan elke „geoorloofde combinatie” van de onafhankelijke veranderlijken (op eenduidige of op meerduidige wijze) een grootheid van B wordt toegevoegd.
Zijn D en B beide verzamelingen van reële getallen, dan spreekt men van reële functies; wanneer D en B verzamelingen van complexe getallen zijn, dan spreekt men van complexe functies. De moderne wiskunde houdt zich echter ook met functies bezig, waarvoor D en B veel algemenere verzamelingen zijn. In de getallentheorie houdt men zich veelal bezig met zgn. getaltheoretische functies, waarin D de verzameling van de natuurlijke getallen of soms die van de priemgetallen voorstelt.
De in de literatuur optredende functies worden ingedeeld naar de bijzondere eigenschappen, die ze bezitten. Tot de belangrijkste eigenschappen behoren: eenduidig, een-eenduidig, continu, discontinu, differentieerbaar, monotoon.
Stellen we de afhankelijkheid tussen x en y voor door y = ƒ(x), dan is omgekeerd een functie van y; dit verband drukt men vaak uit door: = f~l(y) en men spreekt van de inverse functie van y =ƒ(x). Men spreekt van algebraïsche functies, als dat verband door een algebraïsche betrekking tussen x en y wordt uitgedrukt, van exponentiële en logarithmische functies, als de afhankelijke veranderlijke of de onafhankelijke veranderlijke als exponent van een macht in de bepalende vergelijking optreden, van periodieke, bijna-periodieke (z periodieke functies), analytische functies (z functietheorie), als de functies aan zekere algemene voorwaarden- of functionaal-vergelijkingen voldoen, en van talloze bijzondere soorten van functies, die soms door bepaalde reeksen worden gedefinieerd (z cyclometrische functies, elliptische functies, gehele functies, goniometrische functies, hypergeometrische functie, randwaardeprobleem en reeksen) of soms door bepaalde differentiaalvergelijkingen worden gekenmerkt (zoals de cylinderfuncties, die aan de zgn. differentiaalvergelijking van Bessel: x2yn+ xy' + (x2 — n2) y = o voldoen), soms ook op andere functies worden teruggebracht (zoals de cirkelfuncties, die door de formule an cos nዋ + bn sin nዋ in goniometrische functies worden uitgedrukt), of op andere wijzen worden voorgesteld,
PROF. DR F. LOONSTRA
Lit.: C. Carathéodory, Vorlesungen über reelle Funktionen (Leipzig 1918); H. Hahn, Reelle Funktionen I (Leipzig 1932); A. Denjoy, Introd. a la théorie des fonctions de variables réelles I, II, Act. 451, 452 (Paris 1937)
Functies van Euler
noemt men twee, door Leonhard Euler ingevoerde en uitvoerig bestudeerde functies, de zgn. bèta- en gammafuncties, die door hem in de vorm van bepaalde integralen werden voorgesteld en daarom ook wel integralen van Euler worden genoemd. De gammafunctie is een functie van één parameter en heeft de bijzonderheid, dat zij voor gehele waarden van p de faculteit (p—1)! = 1 x 2 x ... x (p— 2) X (p—1) voorstelt, terwijl voor alle (ook niet gehele) waarden van p de betrekking T(p + 1) = pT(p) geldt. De bêtafunctie is de functie van twee parameters (en staat in een zeer eenvoudig verband met de gammafunctie. Beide functies kunnen door transformatie der grondvormen in een aantal andere gedaanten gebracht worden, waarin zij door verschillende schrijvers (o.a. door Dirichlet) zijn bestudeerd.
