(1, wiskunde). Op de vraag: ,,Wat is een getal?” gaf in 1884 G.
Frege een antwoord in zijn Grundlagen der Arithmetik; dat antwoord bleef echter vrijwel onbekend, totdat B. Russell in 1901 er nogmaals de aandacht op vestigde. Een getal is iets, dat zekere verzamelingen kenmerkt en dat zekere verzamelingen in klassen bijeenbrengt; zo kunnen we alle paren elementen in een klasse verenigen, alle drietallen in een andere klasse, enz. Op die wijze krijgen we zekere klassen van verzamelingen; elke klasse bevat die en slechts die verzamelingen, die door een zelfde getal worden gekenmerkt.
Twee verzamelingen behoren dan en slechts dan tot dezelfde klasse, wanneer het mogelijk is om een één-éénduidige betrekking tussen de elementen van de ene en de elementen van de andere verzameling tot stand te brengen. Zo behoren dus de verzameling van de even getallen en die van de oneven getallen tot dezelfde klassse, want men kan door de toevoeging 2 n<—>2 n + 1 alle even getallen één-éénduidig op de oneven getallen afbeelden. Men voegt nu aan twee verzamelingen, die tot éénzelfde klasse behoren, en ook alleen aan zódanige verzamelingen hetzelfde (kardinaal-)getal toe en zo zegt men bijv.: de klasse van alle Earen is het kardinaalgetal 2. Een uitvoerige beandeling van de hier geschetste gedachtengang vindt men bij G.
Frege, B. Russell en A. N. Whitehead (zie lit.).De wiskundige behandeling van het getal begint steeds met die van de natuurlijke getallen. Een stelsel axioma’s dat het systeem van de natuurlijke getallen kenmerkt en met behulp waarvan alle voor de natuurlijke getallen geldige stellingen zijn af te leiden, is eerst door Dedekind (lit.) gegeven. In de formulering van G. Peano (1891) luiden de axioma’s van de natuurlijke getallen:
1. ,,Eén” is een natuurlijk getal, aangeduid door 1 ;
2. Elk natuurlijk getal a heeft een zgn. opvolger, aangeduid door a + ;
3. Er is geen natuurlijk getal a, waarvoor a+ = 1;
4. De opvolgers van twee verschillende natuurlijke getallen zijn verschillend;
5. (Axioma van volledige inductie). Een eigenschap, die aan 1 toekomt en die a+ toekomt, zo gauw als zij a toekomt, komt alle natuurlijke getallen toe.
De optelling en vermenigvuldiging voor natuurlijke getallen voert men door de „definities door inductie ” in: a + 1 = a+, a + b+ — (a + b) +; a. 1 — a, a.b+ = a.b + a.
Op grond van deze definities en van het axiomasysteem laat zich door inductie bewijzen, dat beide bewerkingen steeds uitvoerbaar, associatief en commutatief en, voor zover omkeerbaar, éénduidig omkeerbaar zijn, terwijl de vermenigvuldiging met betrekking tot de optelling distributief is (zie E. Landau, sub lit.).
Het systeem der natuurlijke getallen is uit te breiden tot meer omvattende systemen; de uitbreiding ontstaat dan op grond van een gestelde eis, dat bijv. één of meer bewerkingen, die in het bestaande getallensysteem niet algemeen omkeerbaar zijn, in het meer omvattende systeem die eigenschap wél bezitten. Door de omkeerbaarheid van de optelling te eisen, verkrijgt men uit de verzameling van de natuurlijke getallen de ring van de gehele getallen. Door ook de mogelijkheid van de omkering der vermenigvuldiging te eisen, krijgt men uit de verzameling van de gehele getallen het lichaam der rationale getallen. Het lichaam der rationale getallen heeft o.a. de eigenschap, dat het aftelbaar is en dat het geen echte deelverzameling bevat, die ook alle lichaamseigenschappen bezit.
De verzameling van alle algebraïsche getallen is aftelbaar.
De reële getallen vormen een andere uitbreiding van de rationale getallen; niet elk reëel getal is algebraïsch (denk bijv. aan n of log 2); de nietalgebraïsche getallen onder de reële getallen noemt men transcendente grootheden. De reële getallen vormen een niet-aftelbare getallenverzameling, bestaande uit rationale en irrationale getallen. In de verzamelingsleer spreekt men van eindige kardinaalen ordinaalgetallen, evenals van transfiniete kardinaal- en ordinaalgetallen.
Het getal e is de basis van het zgn. natuurlijke logarithmenstelsel.
Door Hermite (Comptes Rendus, 77 (1873), blz. 18-24) is voor het eerst bewezen, dat e een transcendent getal is; verdere bewijzen werden gegeven door Hilbert, Hurwitz en andere schrijvers. Een van de belangrijke functies, waarin e optreedt is de functie y = ex.
Het getal n is de, naar het schijnt door William Jones in 1706 voor het eerst ingevoerde, doch thans algemeen gebruikelijke benaming voor de verhouding van de omtrek tot de middellijn van een cirkel of, wat hetzelfde is, die van de oppervlakte van de cirkel tot het kwadraat van de straal. Deze verhouding, die alle eeuwen door de aandacht der wiskundigen en van vele leken in sterke mate getrokken heeft (z cirkel, cirkelquadratuur), werd door Archimedes op 31/7 of 22/7 gesteld, door Metius (1625) op 355/113 en door Ludolf van Ceulen (1616) tot op 32 decimalen berekend, naar aanleiding waarvan de bedoelde verhouding vaak als de verhouding van Archimedes of van Metius of als het Archimedische of het Ludolfiaanse getal wordt aangeduid. Nadien nam het aantal berekende decimalen steeds toe: Machin (1706) berekende 100, Euler (1748) 127 decimalen en in de nieuwere tijd zijn reeds meer dan 500 decimalen bekend. Lambert (1767) was de eerste, die (hoewel nog niet volkomen streng) aantoonde, dat n een transcendent getal is, en daarmede de onmogelijkheid van de cirkelkwadratuur door elementaire middelen.
Behalve in de meetkunde van de cirkel (en van de omwentelingslichamen) vervult het getal n ook in de integraalrekening en de functietheorie een belangrijke rol en talloos zijn de reeksontwikkelingen of oneindige producten, waardoor men het heeft uitgedrukt.
Getallen van Bernoulli of Bernoulliaanse coëfficiënten zijn zekere door Jacobus I Bernoulli ingevoerde positieve rationale getallen, die in de integraalrekening en de functietheorie veelvuldige toepassing hebben gevonden.
PROF. DR F. LOONSTRA
Lit.: G. Frege, Grundlagen der Arithmetik (Breslau 1934); B. Russell, The principles of Mathematics I (Cambridge 1903, London 1937); Idem, Introduction to mathematical philosophy (London 1919, 1920); A. N.
Whitehead and B. Russell, Principia mathematica (Cambridge I 1925, II 1927, III 1927); E. Landau, Grundlagen der Analysis (Leipzig 1930); R. Dedekind, Was sind und was sollen die Zahlen? (Braunschweig 1888, ook: Gesamm.
Werke III, blz. 335); F. Schuh, Het getalbegrip, in het bijzonder het onmeetbare getal (1927).
(2, taalkunde), is de verzamelnaam (vertaald uit Latijn numerus) voor die vormen der naamwoorden en werkwoorden, die aangeven of er van een of meer zelfstandigheden wordt gesproken. Wij zijn gewend aan de onderscheiding van enkelvoud (singularis) en meervoud (pluralis), maar in oudere vormen van Indo-europese talen treedt daarnaast op een dualis of aanduiding voor tweevoud. In sommige primitieve talen vinden wij een groter aantal vormen dan in de bovengenoemde talen. Zo maakt het Somali (een Hamietische taal) verschil tussen distributieve pluralis, waarbij de getelde of telbare dingen als aparte eenheden opgevat worden, en een collectieve pluralis, waarbij deze dingen als een groep opgevat worden.
Semietische e.a. talen kennen een universalis, een tweedemachtspluralis, die de som van alle door het meervoudige nomen genoemde personen of voorwerpen uitdrukt. Het Arabisch heeft een afzonderlijke vorm voor meervouden beneden de io, de paukalis. Sommige, vooral austronesische talen kennen een trialis en een quatralis ter aanduiding van het drie- en viervoud. De dualis is in het Germaans nog slechts als rudiment bewaard; het volledigst nog in het Gotisch, waar pronomina en verba afzonderlijke vormen van het tweevoud vertonen. Het is niet altijd nodig, dat een meervoudig begrip door een corresponderende vorm wordt uitgedrukt; bij de collectiva staat het werkwoord gewoonlijk in het enkelvoud.
Verder is op te merken, dat een aantal nomina, vooral abstracta, uitsluitend in het enkelvoud optreden (vriendschap, liefde), daarnaast ook eigennamen, ofschoon zij in bijzondere gevallen ook zelfs dan wel in het meervoud kunnen worden gebezigd. Daartegenover staan die woorden, die alleen in het meervoud voorkomen (pluralia tantum), zoals financiën, hersenen.
DR B. VAN DEN BERG
Lit.: G. Royen, Gramm. Kategorieën bij het naamwoord (Meded. Kon.
Ak., afd. Ltk. 81, A, 1936).
