is een van de belangrijkste logische begrippen voor de wiskunde. Het treedt in verschillende vormen op, zoals: „x is met y identiek”, „x is hetzelfde als y”, „x is gelijk aan y”. Aan deze drie uitspraken wordt dezelfde betekenis gehecht en ze worden kortheidshalve vervangen door: x=y. Ofschoon de zin van de formulering^ duidelijk schijnt te zijn, treedt dikwijls misverstand op: wanneer men beweert, dat x—y, dan stelt men tegelijk vast, dat de symbolen „x” en „y” aanduidingen van een en hetzelfde ding zijn; het drukt echter geenszins de gedachte uit, dat de tekens „x” en „y” zelf identiek zijn.
Zo duiden we bijv. door de symbolen „1,5” en “3/2”een en hetzelfde getal aan: 1,5=3/2|, ofschoon de symbolen verschillend zijn.Van de logische stellingen betreffende het gelijkheidsbegrip, treedt de volgende stelling, die voor het eerst door Leibniz is uitgesproken, het meeste op de voorgrond:
I. „x=y dan en slechts dan, als alles, wat men over het ding x kan zeggen ook over het ding y kan zeggen.” Een andere formulering voor deze stelling luidt: I1. „x—y dan en slechts dan, wanneer elke eigenschap, die het ding x toekomt, ook het ding y toekomt.”
Uit deze stelling van Leibniz kan men een reeks andere stellingen afleiden, die tot de theorie van de gelijkheid behoren en die in wiskundige bewijzen vaak worden toegepast. Hier worden de belangrijkste genoemd:
II. „Elk ding is gelijk aan zich zelf: x=x.
III. „Wanneer x—y, dan is y=x”.
IV. „Is x=y eny=z, dan geldt x=z”- V. „Is x—z en y=z, dan geldt x=y”.
De arithmetische gelijkheid tussen getallen is als een bijzonder geval van het algemeen begrip van de logische gelijkheid op te vatten. Er zijn wiskundigen, die het in de algebra voorkomende teken „ = ” niet met het symbool van de logische gelijkheid identificeren, gelijke getallen niet als identiek beschouwen en de gelijkheid tussen de getallen als een specifiek begrip van de algebra beschouwen.
Wanneer men in de meetkunde twee figuren, bijv. twee lijnstukken, twee hoeken of twee veelhoeken gelijk of congruent noemt, dan beweert men niet, dat deze figuren identiek zijn; men stelt slechts vast, dat deze figuren gelijke grootte, gelijke vorm hebben. Er komen echter ook gevallen voor, waar het niet om de meetkundige gelijkheid van twee figuren, doch om hun logische identiteit gaat; zo zijn bijv. in een gelijkbenige driehoek de hoogtelijn en de zwaartelijn op de basis niet alleen in meetkundige zin gelijk: zij zijn een en hetzelfde lijnstuk.
Het is dus aan te bevelen om in al deze gevallen, waar men de logische gelijkheid niet bedoelt, het woord „gelijkheid” te vermijden, en in plaats van gelijke figuren steeds van congruente figuren te spreken en het teken ,, = ” door het teken te vervangen.
PROF. DR F. LOONSTRA
