is een wiskundig begrip, dat (in de verzamelingsleer) als de generalisatie van „gelijk in aantal” wordt opgevat. Twee verzamelingen M en N worden gelijkmachtig genoemd, wanneer het mogelijk is om een een-eenduidige afbeelding tussen M en N tot stand te brengen.
Kiest men bijv. voor M de verzameling van 8 personen, voor N de verzameling van 8 stoelen, dan kan men (op verschillende manieren) aan elk van deze acht personen één stoel toevoegen zodat ook omgekeerd met elke stoel één persoon overeenkomt. Een dergelijke toevoeging kan men bijv. ook tot stand brengen, wanneer M de verzameling van alle natuurlijke getallen, N de verzameling van alle even (natuurlijke) getallen voorstelt. Daartoe beeldt men het natuurlijke getal n op het even getal 2n af; omgekeerd komt ook 2n alleen met het natuurlijke getal overeen. Langs deze weg nu laat zich het begrip van eindig getal invoeren (als het gemeenschappelijke van eindige gelijkmachtige verzamelingen).Om de gelijkmachtigheid van twee verzamelingen M en N aan te tonen, heeft men dus het bestaan van een een-eenduidige afbeelding tussen M en N te bewijzen. Duiden we de gelijkmachtigheid van M en N aan door het teken ~, dan gelden de volgende eenvoudige eigenschappen:
1. M ~ M;
2. Uit M ~ N volgt N co M; 3. Uit M ~ N, N ~ P volgt M ~ P. Op grond van deze reflexieve, symmetrische en transitieve eigenschappen van de gelijkmachtigheid kan men verzamelingen in klassen indelen, waarbij elke klasse die en slechts die verzamelingen bevat, die gelijkmachtig zijn. Aan elke klasse kennen we een zgn. kardinaalgetal of machtigheid toe en men spreekt af: alle verzamelingen, die tot éénzelfde klasse behoren en ook alleen deze, bezitten hetzelfde kardinaalgetal; bestaat een klasse uit eindige verzamelingen, dan kennen we aan die verzamelingen als kardinaalgetal het aantal elementen van elke verzameling uit die klasse toe. De natuurlijke getallen vervullen dus in dat geval de rol van kardinaalgetallen. Evenals voor eindige kardinaalgetallen bestaan ook voor de oneindige (zgn. transfiniete) kardinaalgetallen rekenregels, die in vele opzichten op die van de eindige kardinaalgetallen gelijken. Verzamelingen, die gelijkmachtig zijn met de verzameling van de natuurlijke getallen, noemt men aftelbaar.
PROF. DR F. LOONSTRA
Lit.: A. Fraenkel, Einleitung in die Mengenlehre (New York 1946); E. Kamke, Mengenlehre (Berlin 1928).
