of Stelkunde is de naam van een der belangrijkste gedeelten van de wiskunde. Het dankt zijn naam aan de titel van een leerboek van den 9de-eeuwsen Arabischen mathematicus al Chuwârizmî over vergelijkingen, Al dsjabr wa’l mûqâbala (herstelling en tegenoverstelling) ; uit al dsjabr, of dial. al gebr, ontstond — toen dit werk uit het Arabisch vertaald werd — het woord algebra.
Begripsomschrijving.
Het gewone tellen en rekenen berust daarop, dat men de aard en bijzondere eigenschappen van beschouwde voorwerpen (bijv. munten, knikkers, ook andere waarneembaarheden, bijv. klokketonen) buiten beschouwing laat, en alleen op hun aantallen let. Een getal, bijv. 3, is dan een door traditie en gewoonte vastgelegd symbool (d.w.z. teken ter aanduiding) voor een willekeurig, niet nader omschreven drietal voorwerpen. Dit is een eenvoudig voorbeeld voor het formaliseren van een ervaringsgebied, waaronder wij verstaan het volgens vastgestelde regels door bepaalde symbolen voorstellen van sommige eigenschappen der ervaringsobjecten, terwijl alle andere eigenschappen buiten beschouwing worden gelaten. Men zegt, dat deze laatstgenoemde eigenschappen in het formaliseringsproces niet worden opgenomen of dat van deze geabstraheerd wordt. Het formaliseren van ervaringsgebieden is een voor de wiskunde kenmerkende handeling. In het tellen en rekenen worden dus onze ervaringen met betrekking tot aantallen geformaliseerd.
Vervolgens worden onze ervaringen over bewerkingen, die op aantallen voorwerpen worden toegepast, geformaliseerd met behulp der rekenkundige bewerkingen. Bijv. is de optelling van getallen een formalisering voor het bij elkaar voegen van aantallen voorwerpen. Eigenschappen, die zulke op aantallen toegepaste bewerkingen algemeen bezitten, worden geformaliseerd als daarmede overeenkomende algemeen geldige eigenschappen der getallen. Bijv. vindt het ervaringsfeit, dat een drietal voorwerpen bij een vijftal andere voorwerpen gevoegd een even groot aantal geeft als een vijftal bij een drietal gevoegd, zijn formalistische uitdrukking in de rekenkundige regel: 3 + 5 = 5 + 3.
Men kan nu nog een stap verder gaan en de vraag buiten beschouwing laten, wélke getallen in de rekenkundige regels optreden om de aandacht meer speciaal aan de bewerkingen en de regels zélf te kunnen wijden. Het gedeelte der wiskunde, waarin dit geschiedt, wordt algebra of stelkunde genoemd. Men moet dan voor niet nader omschreven getallen nieuwe symbolen invoeren, waarvoor men gewoonlijk de letters van het (kleine, cursieve) alphabet kiest.
Men duidt dus bijv. met de letter a een of ander (niet nader genoemd) getal aan, met de letter b eveneens zulk een getal, daarbij in het midden latende of deze getallen al dan niet aan elkaar gelijk zijn, enz. Bij een andere gelegenheid (in een ander vraagstuk of andere formule bijv.) kunnen dezelfde letters worden gebruikt om andere getallen aan te duiden, maar in elke formule stelt elke letter, overal waar hij optreedt, hetzelfde getal voor. De som der door a en b aangeduide getallen wordt door a + b, hun verschil door a — b, hun product door a . b of door a b, en hun quotiënt door a/b voorgesteld.
Het product van twee, drie, vier enz. gelijke getallen, alle gelijk aan a, heet de tweede, derde, vierde enz. macht van a, en wordt door a2, a3, a4, enz. voorgesteld. Het aantal dergelijke factoren heet de exponent der macht. De tweede macht van een getal wordt ook wel het quadraat ervan genoemd. Het getal a heet het grondtal der macht. Laat men ook de getallenwaarde van de exponent buiten beschouwing en duidt men deze door de letter n aan, dan is dus an de «de macht van a, d.i. het product van n getallen, alle gelijk aan a. Is b de nde macht van a, dus an = b, dan heet a de nde wortel van (of uit) b. Vaak wordt ook de minder juiste uitdrukking, nde machtswortel uit b gebruikt.
Een tweede wortel wordt doorgaans korter alleen maar wortel (of ook vierkantswortel) genoemd; de wortelexponent wordt dan ook bij het wortelteken weggelaten. Dus a = √b betekent a2 = b.
Is an = b, dan heet n de logarithme van b voor het grondtal a, of korter de “logarithme van b. Men schrijft hiervoor n =a log b. Bijv. is 3 = 2 log 8, 4 = 3 log 81, 5 = 10 log 100 000, omdat 23 = 8, 34 = 81,105 = 100 000 is.
De zeven bewerkingen: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen, machtsverheffen, worteltrekken en logarithme-nemen, heten resp. de eerste, tweede enz. hoofdbewerking. En wel worden de optelling, vermenigvuldiging en machtsverheffing de drie rechtstreekse, de aftrekking, deling, worteltrekking en logarithme-neming de vier omgekeerde of inverse hoofdbewerkingen genoemd.
Door het plaatsen van haakjes in een formule geeft men de volgorde aan, waarin de bewerkingen moeten worden uitgevoerd. Een tussen haakjes geplaatst gedeelte dient dan ten opzichte van de rest der formule als één grootheid te worden beschouwd. Het kan nodig zijn, meerdere soorten haakjes te gebruiken, bijv. ( ), { }, [ ]. Men beperkt het aantal haakjes tot een minimum door de afspraak, dat de hoofdbewerkingen in een zekere volgorde — machtsverheffen, vermenigvuldigen en delen, worteltrekken, logarithme-nemen, optellen en aftrekken — moeten worden uitgevoerd, tenzij door haakjes een andere volgorde is aangeduid.
Het in vroeger eeuwen gebruikelijke overstrepen in plaats van tussen haakjes plaatsen wordt tegenwoordig nog bijna uitsluitend bij uitdrukkingen achter („onder”) een wortelteken gebezigd.
De rekenkundige regel, waarvan 3 + 5 = 5 + 3 een voorbeeld was, wordt nu door de formule a + b = b + a uitgedrukt. Evenzo drukt de formule a b = b a de eigenschap uit, dat het product van twee getallen van hun volgorde onafhankelijk is (bijv. 7 X 9 = g X 7) (zie beneden onder Grondeigenschappen). Het grote belang van deze grondeigenschappen en daardoor van de gehele algebra is vooral ook daarin gelegen, dat zij niet alleen gelden voor de bij het tellen alleen gebruikte zgn. natuurlijke getallen, maar ook voor de later ingevoerde getalsoorten bijv. de negatieve, irrationele en complexe getallen.
In een later stadium der ontwikkeling wordt de formalisering niet alleen op afzonderlijke getallen, maar op gehele stelsels van getallen (bijv. vectoren, tensoren, quaternionen, matrices, getallenlichamen, ringen, idealen) toegepast. Ook is dit het geval met bewerkingen die op andere wiskundige objecten dan getallen worden toegepast (bijv. permutaties en andere transformaties), en met gehele stelsels van zulke bewerkingen (bijv. groepen). De gedeelten der algebra die zich met deze algemene objecten bezighouden, worden in de zgn. moderne of abstracte algebra tezamengevat. Tenslotte noemen we de toepassing der algebraische methoden op de logika (algèbre de la logique, formele of symbolische logika, algebra van Boole).
De gebruikelijke onderscheiding van Lagere en Hogere Algebra is zuiver traditioneel en van weinig betekenis; zij heeft alleen betrekking op datgene, wat gewoonlijk wel of gewoonlijk niet op de middelbare scholen wordt onderwezen.
We geven in het volgende een (natuurlijk zeer onvolledig) overzicht van de belangrijkste elementaire begrippen, methoden en resultaten der algebra, waarbij we op enkele vragen, die voor de begripsvorming nogal eens moeilijkheden opleveren, iets nader ingaan.
Grondeigenschappen.
De grondeigenschappen der rechtstreekse hoofdbewerkingen, die voor alle in de elementaire wiskunde voorkomende getallensoorten gelden, zijn:
de commutativiteit der optelling: a + b = b + a;
de associativiteit der optelling: (a + b) + c = a + (b + c);
de commutativiteit der vermenigvuldiging: ab — b a;
de associativiteit der vermenigvuldiging: (a b) c = a (b c);
de distributiviteit der vermenigvuldiging ten opzichte van de optelling: (a + b) c = a c + b c;
de drie eigenschappen der machtsverheffing:
ap . aq = ap+q,
(ap)q = ap+q
ap . bp = (ab)p,
waarvoor geen afzonderlijke namen gebruikelijk zijn.
De definities en eigenschappen der inverse bewerkingen, evenals de verdere eigenschappen der rechtstreekse hoofdbewerkingen die alle uit de grondeigenschappen kunnen worden afgeleid, laten we hier onvermeld.
Merkwaardige producten.
Uit de grondeigenschappen der eerste drie hoofdbewerkingen volgen enige identiteiten, dat zijn voor alle getallen, tot alle bovenbedoelde soorten behorend, geldende gelijkheden. Enkele daarvan zijn door het wegvallen of de mogelijkheid tot samenvoegen van enkele termen bijzonder eenvoudig en worden merkwaardige producten genoemd. De eenvoudigste daarvan zijn:
(a + b) (a — b) = a2 — b2,
(a + b)2 — a2 + 2 ab + b2,
(a — b)2 = a2 — 2ab + b2.
Positieve en negatieve getallen.
Reeds bij het rekenonderwijs op de lagere school worden na de natuurlijke getallen de breuken of gebroken getallen ingevoerd. Daartoe worden ook de oneigenlijke breuken (waarvan de teller groter is dan de noemer) en de vereenvoudigbare breuken (waarvan de teller door de noemer deelbaar is), dus ook de natuurlijke getallen zelf, geacht te behoren. De verzameling, bestaande uit alle gebroken getallen, is dus ten opzichte van de optelling, vermenigvuldiging en deling afgesloten, d.w.z. op elk tweetal elementen der verzameling (gebroken getallen) kan men deze bewerkingen toepassen met een resultaat dat zelf weer tot de verzameling behoort (dus een gebroken getal is). Ten opzichte van de aftrekking is dat echter niet het geval. Men kan nu de verzameling van alle gebroken getallen ook ten aanzien van deze bewerking afsluiten door de invoering der rationale getallen, hetgeen gewoonlijk in de zgn. lagere algebra wordt gedaan.
Dit kan zuiver formeel geschieden, d.w.z. door alleen te letten op de opeenvolging van letters en andere symbolen (bijv. +-, - en =-tekens), waarvoor zekere rekenregels worden vastgesteld, die men als een soort spelregels kan beschouwen, waaraan men zich behoort te houden. Men voert dan eerst het getal nul in, voorgesteld door het symbool o, en onderworpen aan de rekenregels
o +a = a +o~a,
o . a = a . o = o,
a° = 1,
waarin a een willekeurige breuk of o is, benevens aan de regels voor verschillen en quotiënten. Daarbij moet men steeds bedenken, dat deling door o niet mogelijk is. De uitdrukking o° wordt vaak ongedefinieerd gelaten; het verdient echter aanbeveling deze als i te definiëren. De andere rationale getallen worden vervolgens ingevoerd als gebroken getallen, voorafgegaan door een plusof een min-teken (positieve, resp. negatieve getallen; bijv. zijn + 5 en + 3½ positief, —5 en —3½ negatief). Een andere, vaak gevolgde, formele methode, de rationale getallen in te voeren als getallenparen, is bij het onderwijs niet aan te bevelen, daar zij niet exacter dan de bovengeschetste en nodeloos gecompliceerd is.
Enkele der rekenregels luiden:
(+ a) + (+ b) = + (a + b),
(+ a) — (— b) = + (a + b),
(+ a).(— b) = — (a.b),
(— a) . (— b) = + (a.b),
wanneer a en b willekeurige gebroken getallen voorstellen.
Bijv. is (+ 3) + (+ 7) = + 10, (+ 12) — (—9) = + 21, (+ 5). (—3) = — 15, (— 5/3) . (— 7/2) = + .35/6 Vooral de tweede en vierde („min min is plus” en „min maal min is plus”) geven veelvuldig aanleiding tot moeilijkheden, doordat men de rekenregels niet alleen als „spelregels” wil zien, maar wil begrijpen, waarom deze juist zó, en niet anders luiden.
Dit kan volgens een door Prof. G. Mannoury vermelde methode geschieden, door positieve of negatieve getallen te beschouwen als resultaten van optelling of aftrekking der bedoelde gebroken getallen bij (resp. van) niet nader genoemde veelvouden van een zeer groot getal, bijv. een millioen. Men stelt dan deze veelvouden bijv. eerst door een sterretje voor, om ze later geheel weg te laten.
Volgens deze gedachtengang komen de rekenregels voor positieve of negatieve getallen vanzelf voor de dag, en zijn de positieve of negatieve getallen, bijv. + a en — a, te beschouwen als vereenvoudigende symbolen (formalisering) voor de bewerkingen, a op te tellen bij, resp. af te trekken van een niet nader genoemd (zeer groot) getal. Dit is in overeenstemming met de gebruikelijke toelichting van negatieve getallen door temperaturen beneden het vriespunt, schulden, en minuten vóór een bepaald tijdstip. Voor het weggelaten grote getal kan men dan nemen: de temperaturen van het vriespunt ten opzichte van een veel lager gelegen nulpunt, een denkbeeldige erfenis, en het aantal minuten, verlopen van een veel vroeger tot het beschouwde tijdstip. (Onze jaartelling is als voorbeeld wegens het ontbreken van een jaar nul niet zo geschikt.
Hernieuwde toepassing van de formaliseringsmethode bestaat nu daarin, dat men een positief of negatief getal zélf, met inbegrip van zijn plus- of min-teken, ook door een enkele letter gaat voorstellen. Dus bijv. p = + 3, q = — 8½ , r = —a. Het gebroken getal dat verkregen wordt door het + - of teken weg te laten heet de absolute waarde van het rationale getal, en wordt aangegeven door dit getal tussen verticale strepen te plaatsen, bijv. | + 3 I = 3, I — 8½ | = 8½ . Daarbij voegt men nog | o | =0.
Negatieve getallen treden in de geschiedenis der wiskunde het eerst op als oplossingen van vergelijkingen (zie beneden). Men zeide bijv., dat de vergelijking x2 + 3 x = 40 de „ware oplossing 5” (d.w.z. de oplossing x = + 5) en de „valse oplossing 8” (d.w.z. x = — 8) bezat.
Voor de invoering der irrationale en complexe getallen verwijzen wij naar deze trefwoorden (z ook getallen en reële getallen).
Vergelijkingen.
Reeds in de Babylonische en de Egyptische wiskunde werden problemen behandeld, waarbij gevraagd werd, een getal te bepalen dat aan een vooraf omschreven voorwaarde moest voldoen. Bijv.: het quadraat van het getal, vermeerderd met driemaal het getal, moet gelijk zijn aan 40. De algebra heeft zich in hoofdzaak ontwikkeld als oplossingsmethode voor dergelijke problemen, vergelijkingen genaamd. De methode bestond daarin, dat men het gezochte getal, de onbekende genaamd, door een bepaald symbool voorstelde en ermede rekende als ware het reeds bekend. Eerst veel later is men ertoe overgegaan, ook bekend onderstelde getallen, welker waarde in het midden gelaten wordt, door letters voor te stellen. Tegenwoordig worden deze wel onbepaalden genoemd. Onder onbekenden worden zij bij voorkeur (doch lang niet altijd) door de laatste letters van het alphabet voorgesteld. Wordt in bovengenoemde vergelijking de onbekende door x voorgesteld, dan luidt zij, in algebraïsche symboliek geschreven, x2 + 3x = 40.
Volgens een door Descartes omschreven procédé wordt een vraagstuk „in vergelijking gebracht” door eenzelfde grootheid op twee verschillende manieren in de onbekende (n) uit te drukken, en deze beide uitdrukkingen (de leden der vergelijking) door een = -teken te verbinden („aan elkaar gelijk te stellen”; vandaar de door Simon Stevin in 1608 ingevoerde naam Stelconst, later Stelkunde). De vergelijking wordt vervolgens tot een eenvoudiger vorm teruggebracht, door beide leden aan eenzelfde bewerking te onderwerpen, t.w. beide met eenzelfde (al dan niet bekend) getal te vermeerderen, te verminderen of te vermenigvuldigen of er door te delen. Door beide leden der vergelijking met het rechter lid te verminderen, kan men een vergelijking steeds tot een andere herleiden, welker rechterlid nul is, hetgeen in vele gevallen aanbeveling verdient.
Indien beide leden ener vergelijking vermenigvuldigd worden met of gedeeld worden door een uitdrukking waarin de onbekende voorkomt, moet men steeds nagaan of deze uitdrukking voor een of meer waarden der onbekende nul kan worden. Is dit het geval, dan kan het voorkomen dat bij vermenigvuldiging met deze uitdrukking de nieuwe
vergelijking deze waarde(n) tot oplossing(en) heeft, terwijl dit met de oude niet het geval was (:invoeren van oplossingen). Bij deling door deze uitdrukking kunnen daarentegen deze waarden als oplossingen verloren gaan (verdrijven van oplossingen).
Vergelijkingen, waarin de onbekende(n) alleen aan de vier hoofdbewerkingen (optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen) onderworpen wordt, heten algebraïsche vergelijkingen. Door verdrijven der noemers kan men steeds vermijden dat de deling niet optreedt. Vervolgens wordt de vergelijking op nul herleid. Het linkerlid is dan een veelterm of polynomium in de onbekende(n), d.i. een som van een aantal termen, waarvan elk öf wel bekend, öf wel een product is van een bekend getal (coëfficiënt) met een macht der onbekende, zo er slechts één onbekende is, en anders met een product van machten der onbekenden. De exponent van de hoogst voorkomende macht der onbekende (en bij meerdere onbekenden de grootste som van in één term voorkomende exponenten der onbekenden) heet de graad der vergelijking. Vergelijkingen van de eerste graad worden ook lineair genoemd. We beperken ons vooreerst tot vergelijkingen met één onbekende.
Een op nul herleide lineaire vergelijking heeft dus steeds de gedaante a x + b = o, waarin a en b gegeven getallen zijn. Is a ‡ o (ongelijk nul), dan heeft zij de oplossing x = — b/a, en geen andere. Is daarentegen a = o, dan is de vergelijking óf vals (als b ‡‡o is) óf identiek (als b = o is), d.w.z. zij heeft dan óf geen oplossing, öf ieder getal tot oplossing (in deze gevallen is de vergelijking slechts schijnbaar lineair).
Is de vergelijking van de tweede graad, dan kan zij steeds in de vorm ax2 + 2bx +c = o gebracht worden, waarbij a ‡ o is. (Het is doelmatig, niet de coëfficiënt van x, maar de halve coëfficiënt van x door de letter b voor te stellen). Zij heeft dan twee oplossingen als b2 — a c > o (groter dan o, dus positief) is, t.w. x = (— b ‡ √ b2 — a c) / a.
De uitdrukking b2 — a c heet de discriminant der vergelijking. Is deze = o, dan heeft de vergelijking slechts één oplossing, nl. x = — b/a, die echter tweemaal in rekening gebracht wordt (twee „samenvallende” oplossingen, of een oplossing van de multipliciteit 2). Is tenslotte b2 — a c < o, dan heeft de vergelijking geen oplossing, zolang men als zodanig slechts reële getallen toelaat. Worden ook complexe getallen als oplossingen toegelaten, zo zijn er wederom 2, t.w. x = (— b ‡ i √ b2 — a c) / a. waarin i de „imaginaire eenheid” voorstelt.
Zijn x1 en x2 de oplossingen der vergelijking ax2 + 2 bx + c = o, dan is x1 + x2 = — b/a en X1X2 = c/a. Hebben xt en x2 deze betekenis, dan geldt de identiteit (d.w.z. voor alle waarden die men voor x invult geldige gelijkheid ax2 + 2bx + c = a (x—x1) (x—x2).
Voor vergelijkingen van de derde en vierde graad zijn door Scipione del Ferro (gest. 1526), Hieronimo Cardano (1545), Nicolo Tartaglia (1546) en Luigi Ferrari soortgelijke maar gecompliceerder uitdrukkingen voor de oplossingen aangegeven, waarin behalve vierkants- ook derdewortels voorkomen. Door N. H. Abel is bewezen, dat algebraïsche vergelijkingen van de vijfde en hogere graad slechts in bijzondere gevallen met behulp van de eerste vier hoofdbewerkingen en worteltrekkingen kunnen worden opgelost.
Een algebraïsche vergelijking van de nde graad heeft steeds n oplossingen, mits men ook complexe getallen als oplossingen toelaat en rekening houdt met het optreden van meervoudige oplossingen (z multipliciteit). (Hoofdstelling der algebra of stelling van d’Alembert). Dit is ook nog het geval, indien de coëfficiënten inplaats van rationale, willekeurige reële of complexe getallen zijn (Stelling van d’Alembert-Gauss). Als methode voor de benadering der oplossing ener nde graadsvergelijking is vooral die van Newton en Horner in gebruik.
Tengevolge van het veelvuldig optreden van wortels bij het oplossen van vergelijkingen wordt een oplossing ener vergelijking ook vaak een „wortel” dier vergelijking genoemd. Het is echter beter het woord „wortel” in deze laatste betekenis te vermijden, en (zoals hier gedaan is) door „oplossing” te vervangen.
We merken nog op, dat het =-teken in vergelijkingen een andere betekenis heeft dan in numerieke gelijkheden (bijv. 3 X 6 = 18) en in identiteiten (bijv. a b = b a), doordat het in het eerstgenoemde geval een voorwaardelijke gelijkheid uitdrukt (bijv. in x2 + 6 = 5 x alleen waar als x = 2 of x = 3 is). Hiermede hangt samen, dat een vergelijking nooit meer dan twee leden heeft, terwijl gelijkheden en identiteiten zich tot meerledige laten aaneenschakelen (bijv. abc = acb — cab = cba).
Men heeft ook vergelijkingen met meer dan één onbekende. Komen in één vergelijking de twee onbekenden x en y voor, dan kan men in het algemeen bij elke willekeurig gekozen x een jy vinden, zodat die waarden x cny aan de vergelijking voldoen. Het is duidelijk, dat men kan proberen, of er onder deze waarden van x en y paren voorkomen, die nog aan een andere voorwaarde voldoen, bijv, een tweede vergelijking bevredigen. Aan deze eis zal men in het algemeen kunnen voldoen. De aldus gevonden waarden noemt men dan de oplossingen van het uit beide vergelijkingen bestaande stelsel. Heeft men n onbekenden, dan kan men in het algemeen aan een stelsel van n vergelijkingen voldoen (z vergelijkingen, stelsels van, en determinanten).
Functies.
Terwijl in het voorgaande de algebraïsche methode nog vrijwel uitsluitend op getallen werd toegepast, en alleen de eenvoudigste daarop toegepaste bewerkingen ter sprake kwamen, kan men nu een stap verder gaan, en de uit de hoofdbewerkingen samengestelde ingewikkelder bewerkingen zélf tot onderwerp van studie maken, in het midden latende, op wélke getallen deze worden toegepast. Wanneer op één of meer willekeurig te kiezen getallen (veranderlijken of variabelen) een bepaalde bewerking wordt toegepast die weer een getal tot resultaat heeft, heet dit laatstgenoemde getal een functie van de eerstgenoemden. Voorbeeld: (één variabele): quadrateer en verminder met drie; (twee variabelen) vermeerder de som van de quadraten der beide variabelen met het drievoud van de eerste variabele. Gewoonlijk (maar niet noodzakelijk) worden de variabelen door de laatste letters van het alphabet voorgesteld. Een functie wordt bij voorkeur door een der letters ƒ, g, F φ, Ψ e.d. aangegeven, waarachter de variabelen tussen haakjes worden geplaatst. Worden voor de variabelen bepaalde getallen ingevuld (gesubstitueerd), dan wordt het resultaat der bewerking (functiewaarde) aangeduid door deze getallen in plaats der variabelen achter het functiesymbool te vermelden. Behalve de variabelen kunnen in een functie ook met name genoemde getallen voorkomen, of ook door letters voorgestelde getallen, welker waarde als onveranderlijk (constant) aangenomen maar niet nader omschreven wordt. Eigenlijk is iedere uitdrukking, waarin door letters voorgestelde getallen voorkomen, een functie van al deze (als variabelen beschouwde) getallen. Ter vereenvoudiging alleen wordt de uitdrukking doorgaans slechts als functie van een klein aantal variabelen beschouwd. Bijv. kan ax + by + c als functie van de vijf variabelen x, y, a, b, c beschouwd worden. In de elementaire algebra en analytische meetkunde echter beschouwt men deze uitdrukking als functie van x en y alleen, en a, b, c als gegeven getallen.
Een aanschouwelijk beeld (grafiek) ener functie wordt met behulp van de analytische meetkunde verkregen door de variabele(n) (dan onafhankelijk variabele(n) genoemd) te zamen met de functiewaarde (afhankelijk veranderlijke) als coördinaten in een plat vlak of in de ruimte te beschouwen. Het beeld van een functie van één variabele is dan een vlakke kromme, van een functie van twee variabelen een oppervlak in de ruimte. Bijv. stelt y = x2 — 3 een parabool, z = x2 + y2 + 3x een omwentelingsparaboloïde voor.
Functies worden op tweeërlei wijze geclassificeerd. Ten eerste naar het aantal en de aard der variabelen (en functiewaarde) (bijv. functies ener complexe variabele, reële functies van twee reële variabelen). Daarbij wordt de mogelijkheid opengelaten, dat de variabelen niet alle getallen der bedoelde soort doorlopen, maar alleen degene, die aan bepaalde voorwaarden voldoen. Deze getallen vormen dan het definitiegebied der functie. Grafisch voorgesteld is dit het inwendige van de cirkel om de oorsprong met straal 1, en deze cirkelomtrek zelf (waar de functiewaarde 0 is). Ten tweede worden functies geclassificeerd naar de aard der op de variabelen toegepaste bewerkingen. Worden op de variabelen alleen de eerste twee hoofdbewerkingen, benevens vermenigvuldiging met (of deling door) constante getallen toegepast, dan heet de functie lineair, bijv. ax + b, 2x — 3y + 5. Komt hierbij ook de vermenigvuldiging van variabelen onderling (of met zichzelf), dan heet de functie geheel rationaal of ook een polynomium of veelterm. Bijv. ax2 + b x2 + c x + d, a x2 + b y2 + cx. Het grootste aantal (al dan niet gelijke) met elkaar vermenigvuldigde variabelen heet de graad der functie. Wordt ook de vierde hoofdbewerking toegepast, dan heet de functie rationaal. Komt hierbij de zesde hoofdbewerking, met gehele wortelexponent, en algemeen het oplossen ener algebraïsche vergelijking, dan heet de functie algebraïsch. Alle andere functies heten transcendent; hun bestudering behoort niet meer tot de algebra.
Tot de belangrijkste stellingen der elementaire algebra behoort de Reststelling. Is f (x) een gehele rationale functie van één variabele x, bijv. van de nde graad en is L (x) = x — a een lineaire functie van x, dan is er steeds een gehele rationale functie Q. (x) („quotiënt”) van de graad n — 1 en een constant getal R („rest”) te vinden, zodanig dat ƒ = Q, L + R is. De reststelling zegt dan dat R =f(a) is. Daaruit volgt dat een nodige en voldoende voorwaarde voor de deelbaarheid van ƒ door L is, dat f (a) =0 is, d.w.z. dat a een oplossing is van de vergelijking f (x) = o. Tot goed begrip van de reststelling is het nodig te bedenken, dat ƒ = Q, L + R een betrekking tussen functies, niet tussen getallen, is. Strikt genomen dient daarvoor eerst gedefinieerd te worden, wat onder som en product van functies wordt verstaan. Bijv. de som f + g van twee functies ƒ en g is de functie die voor alle toegelaten waarden der variabelen als functiewaarde de som der volgens ƒ en g verkregen functiewaarden bezit. Bij sommige bewerkingen, bijv. deling, moet men sommige waarden der variabelen uitsluiten, i.c. degene die de noemer nul maken. Door substitutie van willekeurige niet uitgesloten waarden der variabelen gaat een betrekking tussen functies in de overeenkomstige betrekkingen tussen getallen (nl. de functiewaarden) over.
Hogere algebra.
Behalve de theorie der vergelijkingen van hogere dan de tweede graad, rekent men gewoonlijk tot de hogere algebra: de theorie der permutaties en combinaties, die der determinanten, die der quadratische functies van n variabelen, der stelsels lineaire vergelijkingen, der lineaire transformaties, die der reeksen en van enige eenvoudige functies van een reële of complexe veranderlijke. Deze laatste onderwerpen behoren strikt genomen echter niet tot de algebra, maar tot de analyse.
Geschiedenis.
Reeds de oude Grieken hebben zich bezig gehouden met de oplossing van algebraïsche vergelijkingen, en Diophantes van Alexandrië heeft daarover een boek geschreven, waarin de oplossing der tweedemachtsvergelijkingen voorkomt. Lang vóór dien hadden reeds de Babyloniërs vergelijkingen van de tweede en derde graad opgelost. In Europa zijn de Arabieren de leermeesters geweest der algebra, waaronder vooral genoemd mag worden de in de aanhef genoemde Mohammed ibn Mûsa al-Chuwârizmi (Alchoarizmi), wiens belangrijk werk over de wetenschap in het Engels is vertaald. Van het eerste woord van de titel van dit werk Aldzjebr Walmoekabala is de naam Algebra afgeleid. Ter bevordering van de kennis der algebra heeft een Italiaans koopman, Leonardo van Pisa, bijgenaamd Bonaccio (Fibonacci, omstreeks 1200), veel gedaan, nadat hij zich gedurende zijn reizen in het Oosten, op dat gedeelte der wiskunde had toegelegd. Het eerste algebraïsche werk, dat in Europa werd gedrukt, is door den monnik Luca Paciuolo of Luca Borgo vervaardigd (Venetië 1494) en geeft de oplossing van onderscheidene vergelijkingen in Latijnse verzen. Scipio Ferreo te Bologna vond in 1505 de oplossing der derdemachtsvergelijkingen, en wat hij leverde, werd breder uitgewerkt door Tartaglia uit Brescia (± 1557). Hij deelde de oplossing dezer vraagstukken mede aan Cardano te Milaan; deze maakte ze openbaar, en werkte ze uit tot een algemenere methode. Ferrari, een leerling van Cardano, gaf het eerst de oplossing der vierdemachtsvergelijkingen. De algebra nam allengs een hoge vlucht door de werken van Viéta (Leiden 1656), Harriot (Londen 1613), den Nederlandsen wiskundige Girard (Amsterdam 1629), Descartes, Pascal, Fermat, Leibniz en Newton. Onder de wiskundigen, die zich in de nieuwere tijd door de beoefening der algebra verdienstelijk hebben gemaakt, rekenen wij vooral Jacob Bernoulli, Euler, Lambert, Lagrange, Gauss, Abel, Cauchy, Galois, Hermite, Kronecker, Kummer, Lejeune Dirichlet, Cayley, Boole, Dedekind, F. Klein, Hilbert, Emmy Noether en haar leerlingen, o.w. Van der Waerden.
PROF. DR D. VAN DANTZIG
Lit.: Leerboeken voor de middelbare school van H. E. J. Beth en P. Wijdenes, A. van Thijn (bewerkt door M. L. Kobus), e.a.; Vraagstukkenverzamelingen voor de middelbare school van P. Wijdenes en A. van Thijn (Kobus); F. Schuh, Beknopt leerboek der hoogere algebra, 2 dln (Groningen 1925-1926); Lessen over de hoogere Algebra, 3 dln (Groningen 1921-1926); Idem, Nieuw leerboek der hoogere algebra, 2 dln (Zutfen 1943-1944); P. Wijdenes, Vraagstukken over Hogere Algebra; Westendorp, Vraagstukken over Hogere Algebra; B. L. van der Waerden, Moderne Algebra, 2 dln, 2. Aufl. (Berlin i937-4o); A. A. Albert, Modern higher algebra (London 1938).
