Tot de voornaamste eigenschappen van de differentiaalquotiënten behoren de volgende (waarin u en v functies van eenzelfde veranderlijke x voorstellen):
1. (u + v)' = u' + v', (u + v)" = u" + v", enz.
2. (uv)' = uv' + u'v; (uv)" = uv" + 2u'v' + u"v, enz.
3. ƒ' (u) = (df/du) u', ƒ" (u) = (d2f/du2) u'2 + (df/du) u", enz
De differentiaalrekening vindt uitgebreide toepassing in de hogere algebra, de functietheorie, de meetkunde en de natuur- en werktuigkunde. Voor de functietheorie is van het meeste belang de voorstelling van een (continue en onbeperkt differentieerbare) functie ƒ (x) door een oneindig voortlopende reeks van de volgende vorm (reeks van Maclaurin):
f (x) = f (o) + (x/1) f' (o) + (x2/1.2) f" (o) + …. + (xn/n!) f (n)(o) + …. , waarbij evenwel bijzondere voorwaarden vervuld moeten zijn, opdat deze reeks convergent zij en inderdaad gelijk aan de functie zelf.
In enigszins gewijzigde vorm kan zij ook aldus worden geschreven (reeks van Taylor):
f (x + h) = f (x) + (h/1) f' (x) + (h2/1.2) f" (x) + …. enz., waarin h een toename van de onafhankelijke veranderlijke x voorstelt. Voorts zijn, zowel voor de differentiaal- als voor de integraalrekening van het hoogste belang de betrekkingen, die tussen de verschillende (gewone of partiële) afgeleide functies en de oorspronkelijke functies zelve en hun argumenten of onafhankelijke veranderlijken kunnen bestaan (zie differentiaalvergelijkingen).
De uitvinding der differentiaalrekening dateert van de laatste helft der 17de eeuw en wel, langs verschillende wegen tegelijkertijd door Leibniz en door Newton. Over de eer der ontdekking is een zeer langdurige en onverkwikkelijke strijd gevoerd. Later is gebleken, dat beiden onafhankelijk van elkaar hebben gewerkt.
Newton — die de differentialen fluxiones of fluxies noemde — was wel is waar de eerste uitvinder, maar paste het gevondene alleen toe op verschillende in zijn werken voorkomende problemen, zonder de algemene methoden aan te geven. Zo was het mogelijk, dat de differentiaalrekening, zoals die door Leibniz was opgesteld, zelfs in Engeland eerder bekend werd dan die van Newton. Door de gebroeders Bernoulli, door Euler, Maclaurin en Taylor werd de theorie aanzienlijk uitgebreid.
PROF. DR G. MANNOURY
Lit.: Hk. de Vries, Leerb. der Diff. en Int. rek. (2 dln, 1919-’21, 2de dr. 1ste dl 1924); Ch. Sturm, Cours d’analyse (laatste dr. 2 dln 1909).
