is een der meest omvattende gebieden der wiskunde en is de leer der verschillende vormen van onderlinge afhankelijkheid (of functioneel verband) van wiskundige grootheden (z functie). Als grondleggers van de functietheorie kunnen Fermat, Descartes en Leibniz worden beschouwd, terwijl Euler, Fourier, Abel, Cauchy, Riemann, Weierstrass en Dirichlet belangrijke uitbreidingen aan het functiebegrip gaven of nieuwe onderzoekingsmethoden invoerden, terwijl vooral in de laatste honderd jaar vele vooraanstaande wiskundigen zich met algemene of bijzondere functietheoretische studiën bezighielden, waarbij, voorzover de complexe functies betreft, inzonderheid de gezichtspunten van Cauchy, Riemann en Weierstrass van overwegend belang zijn gebleken.
1. Theorie van Cauchy. Cauchy bestudeert de eigenschappen der functies en haar singulariteiten door middel van lijnintegralen in het complexe vlak, waarom zijn methode ook wel die der residurekening wordt genoemd.
2. Theorie van Riemann
Het functioneel verband wordt door Riemann opgevat als een afbeelding van het (evt. meervoudige) z-vlak (dat Riemanns oppervlak genoemd wordt) op het u-vlak, waarbij hij aantoont, dat deze afbeelding bij analytische functies een conforme is (z conforme meetkunde).
3. Theorie van Weierstrass
Weierstrass bewijst, dat indien Z1 binnen de convergentiecirkel der eerste reeks gekozen wordt, de voortzetting der reeks in Z1 eveneens convergent zal zijn en een convergentiecirkel kan bezitten, die gedeeltelijk buiten de eerste kan liggen. Door herhaling van dit proces kan de oorspronkelijke functie uitgebreid worden tot een, die in een groter gebied dan de oorspronkelijke gedefinieerd is, en wel in het algemeen in het gehele vlak. Deze nieuwe functie nu, gevormd door de oorspronkelijke machtreeks en al haar voortzettingen, wordt door Weierstrass een analytische functie genoemd, en het is dit begrip, dat voor de verdere ontwikkeling van de theorie der complexe functies wel het vruchtbaarst is gebleken.
Voor die der reële functies is vooral de toepassing der methoden van de moderne topologie van belang, terwijl de gewijzigde opvattingen omtrent de wiskunde, die het (neo-) intuïtionisme met zich heeft gebracht, op die ontwikkeling van grote invloed zijn geweest (z intuïtionistische wiskunde).
Lit.: Euler, Institutiones calculli differentialis (2 din, Petersburg 1755); Idem, Institutiones calculi integralis (3 din, Petersburg 1768-1770); J. L. Lagrange, Théorie des fonctions analytiques (Paris 1797) ; Idem, Leçons sur le calcul des fonctions (Paris 1806); A. L.
Cauchy, Œuvres (13 dln, Paris 1882-1916); B. Riemann, Werke (Leipzig 1902); K. Weierstrass, Werke (Mathematik, 7dln, Berlin 1894-1927) ; J. Tannery, Introductions à la théorie des fonctions d’une variable (2 dln, 2de druk, Paris 1904, 1910); U.
Dini, Fondamenti per la teoria delle funzioni di variabili reali (Pisa 1878) ; Idem, Lezioni di analisi infinitesimale (4 dln, Pisa 1907-1915); C. Jordan, Cours d’analyse (3 dln, 3de druk, Paris 1909-1915); E. Picard, Traité d’analyse (dl I, 3de druk, Paris 1922; dl II, 3de druk, 1926; dl III, 2de druk, 1908); W. F.
Osgood, Lehrbuch der Funktionentheorie (2dln, Leipzig, sde druk, 1928, 1919); H. Hahn, Theorie der reellen Funktionen (Berlin 1921); E. W. Hobson, The theory of functions of a real variable (2 dln, 2de druk, Cambridge 1921, 1926); C.
Carathéodory, Vorlesungen über reelle Funktionen (2de druk, Leipzig 1927); E. C. Thitchmarsh, The theory of functions (Oxford 1932) ; Collection de monographies sur la théorie des fonctions, sous la direction d’Em. Borel; E.
T. Whittaker and G. N. Watson, Modern Analysis (Cambridge Univ.
Press 1946).
