zijn vergelijkingen, waarin naast een of meer functies en haar onafhankelijke veranderlijken, ook differentiaalquotiënten dier functies voorkomen. Zijn die differentiaalquotiënten gewoon, dan spreekt men van gewone differentiaalvergelijkingen, zijn zij partieel, van partiële differentiaalvergelijkingen. De gewone differentiaalvergelijkingen kunnen òf op één functie, òf op meerdere functies van dezelfde onafhankelijke veranderlijke betrekking hebben; in het laatste geval spreekt men van simultane differentiaalvergelijkingen. De gewone differentiaalvergelijkingen met één afhankelijke veranderlijke worden onderscheiden in differentiaalvergelijkingen van de 1e, 2e,...., n-de orde, naarmate daarin differentiaalquotiënten van de overeenkomstige orde optreden.
Zijn zij algebraïsch in deze differentiaalquotiënten, dan onderscheidt men ze bovendien naar haar graad, waaronder de exponent van de hoogste macht wordt verstaan, waarin het hoogste differentiaalquotiënt in de vergelijking optreedt. De gewone differentiaalvergelijkingen van de eerste orde zijn derhalve van de gedaante ƒ (x, y, dy/dx) = 0 en kunnen beschouwd worden als de voorstelling van een stelsel vlakke krommen, welker vergelijking F (x, y, c) = 0 één parameter (of zgn. integratieconstante) bevat. Men noemt zulk een kromme een bijzondere integraalkromme en de vergelijking F (x, v, c) = 0 van het gehele stelsel de algemene integraal van de differentiaalvergelijking. Is omgekeerd de algemene integraal gegeven, dan kan de oorspronkelijke differentiaalvergelijking gemakkelijk gevonden worden, door c uit F = 0 en (dF/dx) ≡ (δF/δx) + (δF/δy) (dy/dx) = 0 te elimineren. Behalve de bijzondere integraalkrommen voldoet ook de kromme, welker vergelijking men verkrijgt door c uitF = 0 en (δF/δc) = 0 te elimineren aan de differentiaalvergelijking; de vergelijking van deze kromme heet de singuliere integraal der differentiaalvergelijking. Ook bij differentiaalvergelijkingen van hogere orde onderscheidt men de algemene integraal (die bij een differentiaalvergelijking van de n-orde noodzakelijk n onafhankelijke parameters of integratieconstanten moet bevatten) en de bijzondere en de singuliere integralen. Voor de verschillende methoden tot het vinden dezer integralen zie integraalrekening, A. C. Clairaut en Riccati, vergelijking van.
De theorie der differentiaalvergelijkingen is in hoofdzaak gegrondvest door Leonard Euler en verder ontwikkeld door Lagrange, Jacobi, Gauss, Legendre e.a.
PROF. DR G. MANNOURY
Lit.: Hk. de Vries, Leerb. der Diff. en Int. rekening (Groningen); Forsyth-Maser, Lehrb. der Differentialgleichungen (Braunschweig).
Partiële afgeleide (of partieel differentiaalquotiënt) van een functie U van meer dan één veranderlijke x, y, z, …. noemt men de afgeleide functie (zie differentiaalrekening) van U ten opzichte van één dier veranderlijken, in de veronderstelling, dat de overige constant blijven (schrijfwijze: (δU/δx), (δU/δy), (δU/δz) , ….).
Ingeval de veranderlijken x, y, z, …. niet onafhankelijk zijn, wordt bij het partieel differentiëren met deze afhankelijkheid geen rekening gehouden. Zijn x, y, z, …. alle functies van één onafhankelijke veranderlijke t, dan is het (gewone) differentiaalquotiënt dU/dt gelijk aan (δU/δx) (dx/dt) + (δU/δy) (dy/dt) + …., wat meestal door weglating van de noemer dt, in de symbolische vorm
dU = (δU/δv)dx + (δU/δy)dy + …. geschreven wordt. Is in het bijzonder een der veranderlijken, bijv. x, de enige onafhankelijke, dan verkrijgt men: (dU/dx) = (δU/δx) + (δU/δy)(dy/dx) + (δU/δz)(dz/dx) + …. en noemt men (dU/dx) de volledige afgeleide van U naar x.
Partiële differentiaalvergelijkingen zijn differentiaalvergelijkingen, die, in plaats van gewone, enkel partiële differentiaalquotiënten bevatten, met andere woorden, differentiaalvergelijkingen, waarin meer dan één onafhankelijke veranderlijken optreden, benevens één of meer functies van die veranderlijken. Onder een integraal van een zodanige vergelijking (of van een simultaan stelsel zodanige vergelijkingen) verstaat men een betrekking (of een stelsel betrekkingen) tussen de functies en de veranderlijken, die tot partiële afgeleiden voeren, die aan de gegeven vergelijking of vergelijkingen voldoen. Men onderscheidt in hoofdzaak vier soorten integralen:
1. volledige integralen, waarin, behalve de functies en de veranderlijken, ook nog een of meer parameters (integratieconstanten) optreden;
2. algemene integralen, waarin bovendien (of enkel) willekeurige functies, hetzij van de veranderlijken, hetzij van de parameters optreden;
3. bijzondere integralen, die uit de voorgaande verkregen kunnen worden, door aan de parameters bepaalde waarden of aan de functietekens bepaalde betekenis toe te kennen;
4. singuliere integralen, die geen andere grootheden of functietekens bevatten, dan in de gegeven vergelijking(en) voorkomen, en toch niet tot de bijzondere behoren.
Voorbeeld: de partiële differentiaalvergelijking z = x(δz/δx) + y(δz/δy) heeft tot volledige integraal z = c1x + c2y (of, in de terminologie der analytische meetkunde: alle vlakken door de oorsprong der coördinaten), tot algemene integraal ƒ (z/x, z/y) = 0 (of: alle kegels met de oorsprong tot top), tot bijzondere integralen bijv.
z = 2x – 3y of x2 + y2 – z2 = 0, en tot singuliere integraal x = 0, y = 0, z = 0.
Lit.: Hk. de Vries, Leerb. der Diff. en Int. rekening, III (1922); S. Lie, Discussion aller Integrations-Methoden der partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung (1875); B. Riemann, Die partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung der mathematischer Physik (4de dr., 2 dln, Braunschweig 1900); H. Bateman, Partial differential equations of mathematical physics (Cambridge 1932); N. Saltykow, Méthodes modernes d’intégration des équations differentielles partielles du premier ordre à une fonction inconnue (Paris 1934).
