(Grieks: άσυμπτωτος a-sum-ptōtos = niet ontmoetend) is de limietstand (indien deze bestaat), waartoe de raaklijn van een zich naar het oneindige uitstrekkende tak ener vlakke kromme of ruimtekromme nadert, indien dit punt op die tak naar het oneindige verdwijnt. Het kan echter voorkomen, dat de raaklijn in het geheel geen limietstand bezit, maar bijv. tussen twee richtingen heen en weer schommelt, zoals bij de sinusoïde het geval is, of ook zelf eveneens naar het oneindige verdwijnt, zoals bijv. bij de parabool, de exponentiële en de logarithmische kromme (d.i. de grafische voorstelling van de vergelijking y = ex, resp. y = = log. x). Voorbeelden: een hyperbool heeft twee asymptoten, een parabool geen enkele; een kubische vlakke of ruimte-kromme kan drie asymptoten bezitten.
Een kromme kan haar asymptoten snijden. Dit kan zelfs oneindig vaak het geval zijn, zoals bij de kromme, voorgesteld door y = e-x sin x, die bij de bestudering van gedempte trillingsverschijnselen voorkomt.Voor het onderzoek van een kromme is het bepalen der asymptoten van groot belang, daar daardoor het globale verloop der kromme vastgelegd wordt: beziet men een kromme van een grote afstand, of tekent men deze op een zeer kleine schaal, dan ziet men alleen nog het ,,asymptotengeraamte”.
Om de asymptoten te bepalen van een algebraïsche kromme, voorgesteld door de vergelijking, die verkregen wordt door een veelterm in de Cartesische coördinaten x en y gelijk nul te stellen, gaat men als volgt te werk. Men verenigt alle termen van gelijke graad tot een nulde, eerste, tweede, ..., nde graads-gedeelte. Door het nde graads-gedeelte gelijk nul te stellen, vindt men in het algemeen n al dan niet-verschillende waarden voor de verhouding y/x= m. Deze zijn (voor zoverre ze reëel zijn) de richtingscoëfficiënten der asymptoten (asymptotische richtingen). Substitueert men met zulk een waarde van m en onbepaalde b in de vergelijking der kromme: y = mx + b, dan kan men in het algemeen b zó bepalen, dat ook het (n — 1)de-graads-gedeelte nul wordt. In dat geval is y = m x + b de vergelijking der asymptoot in de richting m. Voor asymptoten in de richting der y-as, alsmede bij meervoudige wortels der vergelijking voor m moet de methode enigszins gewijzigd worden. Deze methode is alleen bruikbaar bij algebraïsche krommen, door vergelijkingen van bovengenoemde vorm voorgesteld.
PROF. DR D. VAN DANTZIG.
