(1) heet de lengte van de verbinding tussen twee plaatsen en wordt op verschillende wijzen aangegeven. Ook is het de vaste uitdrukking voor abdicatie of het afzien van een troon door een koning.
In het algemeen wordt de afstand aangegeven door de lengte van de rechte lijn, die twee voorwerpen verbindt.De afstand van dorpen en steden wordt echter opgegeven als de lengte van de weg, die twee zulke plaatsen verenigt, hoe zij ook kronkelen moge. Men drukt die afstand behalve in km ook wel uit in uren gaans van 20 in één graad op de evenaar of van 5565 m. Men kan een afstand rechtstreeks meten met de meetketting en ook door middel der driehoeksmeting. De geodetische afstand tussen twee punten op aarde is de boog van de grote cirkel, gaande over beide plaatsen. De astronomische afstand tussen twee sterren is de boog van de grote cirkel aan het schijnbare hemelgewelf, die de sterren verbindt, of de hoek, die de vizierlijnen naar deze lichamen in het oog vormen.
In de krijgskunde speelt het bepalen van afstand eveneens een grote rol (z artillerie, geschut, luchtdoelgeschut en afstandmeter).
(2 wiskunde) of distantie van twee punten noemt men de lengte van hun verbindingslijnstuk. Afstand van een punt tot een rechte of tot een plat vlak noemt men de lengte van de loodlijn, uit dat punt op die rechte of dat vlak neergelaten.
Begrippen en eigenschappen die op het afstandsbegrip berusten, heten metrische begrippen en eigenschappen.
Het afstandsbegrip kan op verschillende wijze gegeneraliseerd worden. De eenvoudigste generalisatie heeft betrekking op de afstand van twee punten op een bol, bijv. de aardoppervlakte (welker afwijking van de bolvorm we verwaarlozen). De Euklidische of Pythagoreïsche afstand van twee punten P1 en P2 op aarde, die door bovengenoemde wortelvorm wordt voorgesteld, is de lengte van de koorde die deze punten verbindt. Voor een reis op aarde heeft men echter te maken met de kleinste lengte, die een geheel op de aardoppervlakte gelegen kromme, die P1 en P2 verbindt, kan hebben. Deze waarde heet de geodetische afstand der punten. Zij is gelijk aan de lengte van de kleinste boog van de grote cirkel (d.i. een cirkel, gelegen in een vlak door het middelpunt der aarde) die door de punten gaat. Zijn b1 en l1 de geografische breedte en lengte van P1; en b2 en /2 die van P2, dan wordt de geodetische afstand s van P1 en P2 gevonden uit de in de boldriehoeksmeting afgeleide formule: cos d = sin b1 sin b2 + cos bl cos é2 cos (l2 —l1)Door de hieruit gevonden waarde van d (in graden) te vermenigvuldigen met de lengte (ongeveer 111 km) van één graad vindt men s. Voor de toepassing der formule moeten Z.Br. en W.L. negatief worden genomen. Hebben beide punten dezelfde breedte b, dan kan men voor d de eenvoudiger formule: sin ½ d = cos b sin ½ (I2 — l1) afleiden. Doordat steeds (behalve langs de evenaar) cos b < 1 is, is ook steeds de afstand (in graden) kleiner dan het verschil in geografische lengte. Bijv. is voor Edmonton in Canada en Amsterdam bij verwaarlozing van het verschil in breedte (b — 52°) net lengteverschil ongeveer 1180, maar d ongeveer 64°, dat is ruim de helft. De geodetische afstand is dus ruim 7000 km, terwijl een reis langs de breedtecirkel ruim 13 000 km zou vergen.
Evenals op een bol kan men ook op andere gebogen oppervlakken geodetische afstanden definiëren en hun eigenschappen bestuderen. Dit wordt gedaan in de (metrische) differentiaalmeetkunde der oppervlakken, die vooral aan C. F. Gauss te danken is.
Terwijl de vervanging van het gewone afstandsbegrip door het begrip „geodetische afstand” beschouwd kan worden als wiskundige formulering van de ondoordringbaarheid der aarde voor normaal verkeer, kunnen sommige andere generalisaties van het afstandsbegrip gezien worden als mathematische uitdrukking van andere fysische eigenschappen, die op de grotere of kleinere „moeilijkheid” van verschillende verbindingswegen betrekking hebben. Hiertoe kan ook de optische afstand van twee punten gerekend worden, die in een optisch systeem gelegen zijn, waarvan de brekingsaanwijzer niet overal dezelfde is. Deze optische afstand is evenredig met de kleinste tijd die een lichtstraal nodig heeft om uitgaande van één der punten, het andere te bereiken.
Zo kan men ook bewegingen beschouwen, welker moeilijkheid van de richting van voortschrijding, maar niet van de ligging van het uitgangspunt afhangt. Alle punten, die „even moeilijk” van een gegeven punt uit kunnen worden bereikt als één bepaald punt, vormen (in het platte vlak) een zekere kromme, de ijkkromme genaamd. Laat men de fysische achtergrond buiten beschouwing, en denkt men zich alleen de ijkkromme gegeven, dan wordt men onder zekere vereenvoudigende onderstellingen tot de Meetkunde van Minkowski geleid. Een bijzonder geval daarvan komt overeen met het verkeer in een stad, gevormd door twee onderling loodrechte stelsels van evenwijdige straten. Kiest men de coördinaatassen in de richtingen der straten, dan is de „verkeersafstand” van twee kruispunten met coördinaten (X1, y1), resp. (x2, y2), gelijk aan | x1 — x2 | + | y1 — y2 | (z absolute waarde). Daarbij is de breedte der straten („schuin oversteken”) verwaarloosd. Dit is een bijzonder geval der meetkunde van Minkowski, waarbij de ijkkromme een vierkant is, waarvan de diagonalen in de richtingen der straten lopen en gelijk aan twee lengte-eenheden zijn. (Het woord „kromme” wordt in de wiskunde vaak als synoniem met „lijn” gebruikt, dus ook voor een rechte of gebroken lijn).
Een andere generalisatie van het afstandsbegrip is de niet-Euklidische afstand (z niet-Euklidische meetkunde).
Tenslotte kan men het afstandsbegrip heel algemeen door zijn kenmerkende eigenschappen definiëren (4: axiomatische meetkunde).
Duidt men de afstand van twee punten Pen Q, aan door d (P, Q) (d voor „distantie”), dan kan men de kenmerkendste eigenschappen van het afstandsbegrip als volgt formuleren:
1. d (P, P) =0, d.w.z. de afstand van een punt tot zichzelf is nul;
2. d (P, Q_) > o als P ‡ Q_is, d.w.z. de afstand van elk punt tot ieder ander punt is positief;
3. d (P, Q) = d (Q., P), d.w.z. de afstand van twee punten is onafhankelijk van hun volgorde;
4. d (P, Q) + d (Q,R)≧ d (P, R), d.w.z. de som van de afstanden van elk punt (Q_) tot twee andere punten (P en R) is minstens gelijk aan de afstand dier twee punten.
Deze laatste eigenschap heet de driehoeksongelijkheid, daar zij de bekende stelling uit de vlakke meetkunde tot uitdrukking brengt, die inhoudt, dat de som van twee zijden van een driehoek groter is dan de derde zijde.
Door F. Hausdorff en door M. Fréchet is het afstandsbegrip gegeneraliseerd (z generalisatie) door de term „afstand” in algemene zin ook te gebruiken voor een aan elk tweetal elementen Pen Q ener willekeurige verzameling toe te voegen reëel getal d (P, QJ, zo dit de kenmerkende eigenschappen 1-4 bezit (z axiomatische methode). Zulk een verzameling wordt door F. Hausdorff een metrische ruimte genoemd. De studie der metrische ruimten vormt een belangrijk onderdeel der topologie. Een belangrijk bijzonder geval hiervan is het begrip afstand van twee functies, dat bijv. in de theorie van de ruimte van Hilbert een belangrijke rol speelt.
Ook de buiten de wiskunde voorkomende toepassingen van het afstandsbegrip berusten vaak op dergelijke (zij het veelal niet nauwkeurig geformuleerde) generalisaties van het begrip „afstand”. Vgl. bijv. in de erfelijkheidsleer het begrip afstand van twee genen (erffactoren) in een chromosoom.
PROF. DR D. VAN DANTZIG
Afstandmeter is een der mechanische en optische hulpmiddelen, die het mogelijk maken, uitsluitend door meting in één standplaats, de afstanden te bepalen van die standplaats tot omliggende punten. Zij berusten steeds op de meting van één element in een driehoek, waarvan twee elementen gegeven zijn en waarin men de gevraagde afstand op een of andere wijze, bijv. als hoogtelijn, kan berekenen. Men kan een vereenvoudiging verkrijgen, door deze driehoek een bijzondere vorm te geven. In slechts enkele gevallen wordt een willekeurige driehoek toegepast (afstandmeter van Sanguet), contact-tachymeter van Kern, theodolieten met een zgn. tangentenschroef e.d.) doch de gelijkbenige driehoek wordt het meeste gebruikt. In het laatste geval is de driehoek bepaald door de kennis van de basis en van de zeer kleine tophoek, terwijl de gevraagde afstand afgeleid wordt uit, of gelijk is aan de hoogtelijn, neergelaten op de basis.
Bij dit gebruikelijke geval kunnen twee typen worden onderscheiden.
a. Bij constante basis van het instrument meet men de tophoek of zgn. parallactische hoek, d.i. de hoek, waaronder men van het doel uit de basis ziet (basis-afstandmeters).
b. Aan het instrument heeft men een constante parallactische hoek en men leest de lengte van de basis af op een in het doel opgestelde verdeling of baak.
De onder a. genoemde instrumenten worden voornamelijk voor militaire doeleinden gebruikt, omdat zij geschikt zijn voor het meten van afstanden tot ontoegankelijke punten. Het onder b. genoemde type is algemeen in gebruik aan landmeetkundige instrumenten. Deze afstandmeter bestaat uit twee astronomische kijkers met gemeenschappelijk beeldvlak en oculair. Indien het voorwerp D niet in het oneindige is gelegen, ontstaat de parallactische driehoek 02AB. Door het prisma P2 wordt de stralenbundel in de rechter kijker gebroken zodat het rechterbeeld ergens tussen A en B ontstaat. Door het prisma in de lengterichting van de kijkerbuis te verschuiven, kan men dit verschoven beeld nauwkeurig laten samenvallen met het linkerbeeld in A. De noodzakelijke verschuiving van het prisma is daarbij een maat voor de parallactische hoek in ü2 en dus voor de afstand tot D. Deze afstand leest men op een schaalverdeling af, die aan het prisma P2 verbonden is.
De fout, die men met dit systeem verkrijgt, is omgekeerd evenredig aan de basislengte en aan de kijkervergroting en is evenredig aan het kwadraat van de gemeten afstand. Bij een basislengte van 1 m en tienvoudige vergroting van de kijkers is de middelbare fout in een afstand van 1000 m rond 3,2 m. Dit geldt alleen bij zuiver geregeld instrument en onder goede omstandigheden.
Tot de categorie a kan men ook rekenen de eveneens voor militaire doeleinden gebruikte stereoscopische afstandmeter. Bij dit instrument zijn de oculairs van de twee kijkers zo geplaatst, dat het ene oog de ene kijker en het andere de tweede gebruikt. In elk der ogen van den waarnemer wordt nu een beeld gevormd van het voorwerp, waarop het instrument is gericht, welke twee beelden echter tot zijn bewustzijn komen als een enkel ruimtelijk beeld, overeenkomende met de indruk, die hij krijgt bij het waarnemen van het voorwerp met ongewapende ogen, maar veel meer uitgesproken door de vergroting van de kijkers en grote schijnbare oogafstand. In elk der kijkers is een prisma geplaatst, waarvan een verschuiving den waarnemer de indruk geeft alsof het voorwerp zich ten opzichte van het meetmerk naar voren of naar achteren beweegt. De stand van het prisma, waarbij voorwerp en meetmerk even ver weg gezien worden, bepaalt de afstand van het instrument tot het voorwerp, die men op een met het prisma verbonden schaalverdeling afleest.
De onder b genoemde instrumenten met constante parallactische hoek zijn hoofdzakelijk in twee groepen te onderscheiden:
1. Dradenafstandmeters, meestal genoemd naar Reichenbach, doch uitgevonden door James Watt in 1771 en vermoedelijk al in 1674 door den Italiaan Montanari.
2. Dubbelbeeldafstandmeters, waarvan men de eerste toepassing vaak toeschrijft aan den Amerikaan Richards (1890), doch die zeker in speciale gevallen al voor die tijd zijn gebruikt.
Men verkrijgt de dradenafstandmeter door op het beeldvlak-diafragma van een kijker twee onderling evenwijdige draden aan te brengen. De parallactische hoek wordt bepaald door de verhouding van de onderlinge afstand van de beide afstandsdraden tot de brandpuntsafstand van het objectief. De basis vindt men door op het eindpunt der te meten lijn een zgn. baak te plaatsen. Op deze baak komt een cm-verdeling voor. Indien men de kijker scherp stelt op deze baak, ziet men de afstandsdraden samenvallen met bepaalde waarden op de baakverdeling. Het verschil dezer aflezingen is de lengte 1 van de basis.
Bij horizontale kijkerstand volgt de afstand dan uit de formule: D = Al + B. Hierin zijn A en B constanten. De vermenigvuldigconstame A is bepaald door de parallactische hoek en wordt meestal zo goed mogelijk gelijk gemaakt aan 100 door de afstand der beide draden gelijk te maken aan 1/100 van de brandpuntsafstand van het objectief. De optelconstante B is meestal klein (van 0-50 cm) en is afhankelijk van het kijkersysteem.
Bij de dubbelbeeldafstandmeter, die vooral in de jaren na 1925 tot ontwikkeling kwam, wordt de parallactische hoek gevormd door een achromatisch prisma of door een spiegelend prisma systeem, dat de helft van het kijkerobjectief bedekt. Elk der beide objectief-helften levert een beeld. Tengevolge van de breking van de lichtstralen door het prisma zijn deze beelden ten opzichte van elkaar verschoven over een constante hoek. Indien men in het eindpunt van de lijn een baak opstelt, die loodrecht staat op de vizierlijn van de kijker en op de ribbe van het prisma, dan kan men de basis op deze baak als beeld verschuiving aflezen. Is deze 1, dan is D = Al. D wordt dan tot het prisma geteld. Men gebruikt een prisma van een zodanige doorsnede, dat A = 100 wordt.
Bij beide systemen laat de baak zich zowel horizontaal als verticaal opstellen. Met het oog op het verschil in straalbuiging op verschillende hoogten boven de bodem, verdient voor nauwkeurig werk laatstgenoemde stand aanbeveling.
De te bereiken nauwkeurigheid is afhankelijk van de type der verdeling, die men op de baak aanbrengt. De middelbare fout in de enkele meting van een lijn van 100 m bedraagt bij dubbelbeeld afstandsmeting 0,015 à 0,025 m en bij dradenafstandsmeting 0,05 à 0,10 m. Men kan met beide typen ook horizontale afstanden en hoogteverschillen meten bij hellende stand van de vizierlijn van de kijker. Uit de afgelezen basis 1 en de helling van de kijker laten deze grootheden zich gemakkelijk berekenen.
PROF. IR W. SCHERMERHORN
Lit.: J. F. Sirks, Kijkers en Kompassen (Vakbibliotheek van de Wereldbibliotheek); A. König, Die Fernrohre und Entfernungsmesser (Berlin).
