of analysis situs is dat deel van de meetkunde, dat zich bezighoudt met de studie van zgn. topologische eigenschappen van figuren. Om deze studie toe te lichten, denke men zich een meetkundige figuur F, (bijv. het oppervlak van een bol) van caoutchouc gemaakt; men laat nu genoemd oppervlak vervormen, waardoor een ander oppervlak F, ontstaat.
Daarbij wordt echter nadrukkelijk geëist, dat het oorspronkelijke oppervlak niet gescheurd mag worden, terwijl evenmin delen van het oorspronkelijke oppervlak op elkander mogen worden gelegd. Nu heeft de verandering van F1 in F2 tot gevolg, dat zekere eigenschappen van F1 verloren gaan (zo gaat de eigenschap, dat Fl een middelpunt Afhad, zodat alle punten van F1 evenver van M lagen, in het algemeen verloren); er zijn echter óók eigenschappen, die onveranderd blijven. Trekt men bijv. op het boloppervlak F, een cirkelomtrek C1, dan verdeelt deze het boloppervlak in twee delen. Na de vervorming van F1 in F2 is de cirkel C1 in een gesloten kromme C2 overgegaan, die eveneens F2 in twee delen verdeelt.Alle eigenschappen nu, die na de genoemde vervormingen blijven bestaan, heten topologische eigenschappen van die figuur. De toegelaten vervormingen zijn zgn. topologische afbeeldingen: men spreekt van een topologische afbeelding van de figuur F, op de figuur Ft, wanneer er een één-éénduidige afbeelding van F1 op F2 bestaat, zodanig, dat met naburige punten van de ene figuur ook naburige punten van de andere figuur corresponderen. Men noemt dan Ft en F2 topologisch aequivalente figuren. Omdat topologische aequivalentie een aequivalentie-eigenschap is, wordt de verzameling van alle figuren verdeeld in klassen van onderling topologisch aequivalente figuren.
De topologie nu is de studie van topologische eigenschappen en in het bijzonder van topologische invarianten der figuren.
Wanneer men de topologie opbouwt met behulp van de zgn. puntverzamelingen, dan beoefent men de verzameltheoretische topologie. Sedert het belangrijke onderzoek van G. Cantor, de grondlegger van de verzamelingsleer, is men er van doordrongen tot welke belangrijke topologische problemen de meest algemene puntverzamelingen aanleiding geven, zoals die der topologische ruimten.
In de combinatorische topologie is het „complex” het onderwerp van onderzoek, d.i. een systeem van eindige of hoogstens aftelbaar vele elementen; de eigenschappen, die men van een verzameling wil onderzoeken, worden door eigenschappen van het complex vervangen en deze eigenschappen van het complex zijn door de „incidenties” van zijn elementen, d.w.z. door de wijze, waarop ze aan elkander zijn gevoegd, bepaald. De methode bij deze onderzoekingen is algebraïsch: men werkt met hulpmiddelen zoals lineairvormen, matrices, groepen en zo ontstaat een in zich gesloten theorie, de combinatorische topologie of ook topologie der complexen. Na Poincaré heeft deze tak van de topologie veel te danken aan het werk van Veblen, Alexander en Lefschetz. Als de eigenlijke grondleggers van de moderne topologie dienen Poincaré en Cantor te worden genoemd. Voor een uitvoerig historisch overzicht raadplege men: P. Alexandroff und H. Hopf, Topologie I, Berlin 1935.
Lit.: Dehn und Heegaard, Analysis Situs. Enzykl. Math. Wiss. III AB 3 (Leipzig 1907); Schoenflies, Die Entwickelung der Lehre von den Punktmannigfaltigkeiten (Leipzig 1908); Hausdorff, Mengenlehre (New York 1946); Veblen, Analysis Situs (New York 1922); von Kérékjarto, Vorlesungen über Topologie (Berlin 1923); Fréchet, Les espaces abstraits (Paris 1928); Kuratowski, Topologie I, II (Warszawie 1933, 1952); Seifert, Threlfall, Lehrbuch der Topologie (New York 1946); S. Lefschetz, Introduction to Topology (Princeton 1949).
