In de klassieke of Euklidische meetkunde wordt onder meer uitgegaan van de als axioma aangenomen eigenschap der rechte lijnen, dat in een plat vlak door een gegeven punt P buiten een rechte r slechts één rechte gaat, die r niet snijdt. Dit axioma, gewoonlijk parallellenpostulaat genoemd en door Euklides in een andere, hoewel equivalente, vorm geformuleerd (z Euklides, postulaat van), is lange tijd als een onvolkomenheid van het meetkundig systeem opgevat en vele wiskundigen hebben vergeefse pogingen aangewend, het uit de voorafgaande axioma’s af te leiden, tot langzamerhand het inzicht baanbrak, dat dit onmogelijk is, omdat ook de veronderstellingen, dat door P óf geen enkele, óf meer dan een rechte getrokken kan worden, die r niet snijdt, evenzeer tot logisch-consequente systemen voeren, die gewoonlijk als de Riemannse en de Lobatsjewskijse meetkunde worden aangeduid.
In de Riemannse meetkunde is dus van evenwijdige rechten geen sprake en in de Lobatsjewskijse meetkunde moet onderscheid gemaakt worden tussen niet-snijdende rechten en equidistante lijnen, terwijl bewezen kan worden, dat hieruit voortvloeit, dat in de Riemannse meetkunde de som der hoeken van een driehoek steeds groter en in de Lobatsjewskijse meetkunde steeds kleiner dan 1800 is. Als grondleggers der laatstgenoemde meetkunde kan zowel Johan Bolyai als Lobatsjewskij beschouwd worden, die ca 1830 vrijwel gelijktijdig deze theorie ontwikkelden, zij het ook dat hetzelfde gronddenkbeeld reeds bij anderen hunner tijdgenoten (Gauss, Schweikart, Taurinus) was gerijpt en door anderen reeds eerder belangrijke voorarbeid was verricht (z Lambert en Saccheri). Ca 1850 ontwikkelde Bernard Riemann de naar hem genoemde meetkunde en bewees tevens (met behulp van de inmiddels door hem en Grassmann gegrondveste meerdimensionale meetkunde) de volkomen gelijkberechtigdheid der drie systemen. Sedertdien zijn ook andere, van de klassieke meetkunde verschillende systemen ontworpen, die echter niet als niet-Euklidische meetkunden, doch door andere benamingen worden aangeduid, als bijv. de niet-Archimedische, de niet-Desarguese en de niet-Pascalse meetkunde.PROF. G. MANNOURY
Lit.: N. I. Lobatsjewskij, Géométrie imaginaire (1836); J. Bolyai, Appendix scientiam spatii absolute veram exhibens (gevoegd bij W. Bolyai, Tentamen enz. 1832); B. Riemann, Über die Hypothesen, welche der Geometrie zugrunde liegen (Gött.
Abh. 1866); F. Engel und P. Stackel, Urkunden zur Gesch. d. nichteukl. Geometrie (Leipzig 1899); H. Liebmann, Nichteukl. Geometrie (Leipzig 1905); Hk. de Vries, De vierde dimensie, hfdst.
II (Groningen 1925); G. Mannoury, Methodologisches u. Philosophisches zur Elementarmathematik,2.T., Kap. III (Haarlem 1909); H. J. E.
Beth, Inl. tot de niet-eucl. meetkunde op historische grondslag (Groningen 1929); J. G. H. Gerretsen, Niet-euclidische meetkunde, 2de dr. (Gorinchem 1948).
