noemt men het door Euklides opgebouwde meetkundige systeem. Het is door M.
Pasch en D. Hilbert nader onderzocht (z niet-euklidische meetkunde). We laten hier de axioma’s volgen zoals ze door B. L. v. d. Waerden in zijn werk De logische grondslagen der Euclidische meetkunde (Groningen 1937) zijn opgesteld. Wij splitsen deze axioma’s in drie groepen:I. Verbindingsaxioma’s;
II. ordeningsaxioma’s;
III. congruentie-axioma’s.
De axioma’s van groep I bevatten uitsluitend de begrippen punt, lijn, vlak en de relaties „liggen in” en „liggen op”. Die van groep II bevatten bovendien de „tussenrelatie”. Die van groep III bevatten het begrip verplaatsing.
I. De verbindingsaxioma’s:
I1. Door twee verschillende punten gaat één en slechts één lijn.
I2. Door drie verschillende punten, die niet op één lijn liggen, gaat één en slechts één vlak. I3. Als een lijn met een vlak twee punten gemeen heeft, ligt de lijn geheel in het vlak. I4. Elke lijn bevat minstens twee verschillende punten. I5. Elk vlak bevat minstens drie niet op één lijn liggende punten. I6. Er zijn vier punten, die niet in één vlak en niet op één lijn liggen. I7. Wanneer twee verschillende vlakken een punt A gemeen hebben, dan hebben ze minstens nog een punt B gemeen. De axioma’s I1 - I5 gelden reeds in de vlakke meetkunde en heten daarom de vlakke verbindingsaxioma’s. I6 en I7 zijn ruimtelijke verbindingsaxioma’s.
II. De ordeningsaxioma’s
Wij spreken af, dat „B ligt tussen A en C” hetzelfde betekent als „B ligt tussen C en A”. II1. Als B tussen A en C ligt, dan zijn A, B en C drie verschillende punten van één lijn. II2. Als A, B en G drie verschillende punten van één rechte lijn zijn, dan ligt één en slechts één van die punten tussen de beide andere. II3. Als A en B twee verschillende punten zijn, dan bestaat er minstens één punt C zo, dat B tussen A en C ligt. II4. Wanneer A, B en C punten buiten een vlak a zijn en wanneer tussen A en B een punt van a, maar tussen B en C geen punt van a ligt, dan ligt tussen A en G een punt van a. II5. Wanneer de punten van een halve lijn AD in twee klassen worden gesplitst, die elk minstens één punt bevatten, zodanig dat elk punt van de eerste klasse tussen A en elk punt van de tweede klasse ligt, dan bestaat er een punt G „precies op de grens”, zodat alle punten tussen A en G tot de eerste klasse en alle punten op het verlengde van AG tot de tweede klasse behoren.
III. De congruentie-axioma’s
III1. Een verplaatsing V voert elk punt P in één enkel punt Q, over. III2. Ligt B tussen A en C, en is V een verplaatsing, dan ligt VB tussen VA en VC. III3. Ligt B tussen A en C, dan is het lijnstuk AC niet congruent met lijnstuk AB. Dat is: er is geen verplaatsing, die AC in AB overvoert. III4. Ligt D binnen ∠BAC, dan is ∠BAC niet congruent met ∠BAD. III5. Bij elke verplaatsing V bestaat een verplaatsing V-1, zodat V-1 (VP) = P voor elk punt P. Uit de verbindingsaxioma’s volgt, dat door een punt P buiten een lijn 1 hóógstens één lijn evenwijdig met 1 kan worden getrokken. Onafhankelijk hiervan volgt uit de congruentie-axioma’s, dat er door P minstens één lijn evenwijdig met 1 gaat. Hieruit volgt dus het bestaan van één en slechts één lijn door P, die evenwijdig is met 1.
PROF. DR F. LOONSTRA
Lit.: D. Hilbert, Grundlagen der Geometrie (Leipzig 1930); M. Pasch und M. Dehn, Vorlesungen über neuere Geometrie (Berlin 1926); H. G. Forder, Foundations of Euclidean Geometry (1927); O. Bottema, Elementaire Meetkunde van het platte vlak (Groningen 1938); J. van Ijzeren, Moderne vlakke meetkunde (Zutfen 1941); O. Veblen and J. W. Young, Projective Geometry, 2 dln (Boston 1910-1918).
