Deze is te beschouwen als een onderdeel van de geodesie. Zij omvat de methoden, volgens welke nauwkeurige afbeeldingen van de aardoppervlakte hetzij op een bol (z globe), hetzij op een plat vlak (z kartografie) tot stand kunnen worden gebracht op een daartoe te kiezen geschikte schaal.
Het is een bijzonder geval van het algemene vraagstuk om van willekeurige figuren mathematische afbeeldingen tot stand te brengen. Deze theorie steunt op een hoofdstuk uit de wiskunde: de differentiaalmeetkunde. Werden vroeger verschillende methoden in de leer der kaartprojectie als min of meer toevallig naast elkaar staand behandeld, de strenge wiskundige behandeling maakt het mogelijk alles uit één gezichtspunt te omvatten en op te bouwen. Wij moeten ons hier echter tot de klassieke beschouwing beperken.Elementair beschouwd kan men zeggen, dat een bepaalde kaartprojectie bekend is, indien het gelukt volgens die methode het net van meridianen en parallellen af te beelden. Immers ieder punt van de aarde is bepaald door de door dit punt gaande meridiaan en parallelcirkel. Het snijpunt van de afbeelding van meridiaan en parallel levert dan de afbeelding van het punt. Bij de constructie van geografische kaarten ten behoeve van atlassen kan men dus volstaan met de constructie van een beperkt aantal meridianen en parallellen, omdat men dan het tussen deze parallellen en meridianen gelegen land in de afbeelding kan schetsen. Voor de constructie van topografische en technische kaarten gebruikt men het systeem van driehoekspunten als grondslag. Van deze punten zijn rechthoekige coördinaten in de kaart te berekenen volgens formules, die typerend zijn voor iedere bijzondere kaartprojectie (transformatieformules), uitgaande van de geografische coördinaten dezer punten op de aarde of uit de rechthoekige coördinaten van naburige punten.
In deze gevallen gebruikt men de kaartprojectie dus niet als meetkundige constructie, doch leidt men de genoemde formules af om de overgang van een figuur op aarde tot afbeelding in de kaart door berekening mogelijk te maken met een gewenste graad van nauwkeurigheid. Aan de projectie, die wordt gebruikt voor de constructie van geografische kaarten van grote gedeelten van de aardoppervlakte of van de gehele aarde langs grafische weg, stelt men geheel andere eisen dan aan de kaartprojectie, die men toepast voor de topografische kaarten en waarbij de overgang van aarde tot kaart uitsluitend langs de weg der transformatieformules plaats vindt.
Voor de constructie van de kaart denkt men zich eerst alle punten van het physisch aardoppervlak afgebeeld op de zgn. referentie-ellipsoïde (z geodesie); daarna kan de figuur in de referentie-ellipsoïde hetzij direct worden afgebeeld in het platte vlak, hetzij dat dit geschiedt door afbeelding van de ellipsoïde op een bol en van de bol in een plat vlak. Daar de bol echter geen ontwikkelbaar oppervlak bezit, moeten de lengte- en breedtecirkels op het platte vlak vervormingen ondergaan.
Het is de taak der kaartprojectieleer rekening te houden met deze vervormingen en te zorgen, dat zij zo gering mogelijk worden, of aan bepaalde voorwaarden voldoen. Daarnaast moet de kaartprojectie nog voldoen aan andere voorwaarden, bijv. eenvoudige transformatieformules of die van eenvoudige meetkundige constructie van de afbeelding van meridianen en parallellen, wanneer het gaat om geografische kaarten.
In het algemeen zullen zowel de hoeken tussen de verschillende richtingen als de afstanden en de oppervlakten vervormd worden. Tissot heeft heteersteen algemene theorie voor deze vervormingen opgezet en zich afgevraagd, welke projectie voor een bepaald gedeelte van de aa.de de kleinst mogelijke vervorming zal geven. Zijn onderzoek voerde tot de volgende conclusies. In ieder punt van het aardoppervlak bevinden zich twee onderling loodrechte richtingen, die na afbeelding onderling loodrecht gebleven zijn. De vervorming kan men zich ontstaan denken door op de aarde (ellipsoïde cf bol) in ieder punt een klein cirkeltje te denken met een straal, die men zich onbeperkt klein moet denken. Dit elementaire cirkeltje wordt in de kaart als een ellips (de zgn. indicatrix) afgebeeld.
De assen van deze ellips zijn de genoemde onderling loodrecht blijvende richtingen. De lineaire verandering in een bepaalde richting, zijnde de vergroting, laat zich uitdrukken als functie van de hoek, die deze richting maakt met een der assen van de indicatrixen van de vergroting langs de twee assen van deze indicatrix. Ook de verandering van een richting ten opzichte van een as van de indicatrix laat zich uitdrukken in dezelfde grootheden. Aan de hand van deze uitdrukkingen kon Tissot voor een bepaald geval de meest doelmatige projectie berekenen. Tevens is uit deze beschouwingen aan te tonen, dat er kaartprojecties mogelijk zijn, waarbij de richtingen in een punt ten opzichte van de assen van de indicatrix in de kaart dezelfde zijn als op aarde. Alle hoeken, gemeten tussen richtingen op aarde, zullen dus onvervormd in de kaart overgaan.
Men spreekt dan van conforme kaartprojecties. De indicatrix wordt daarbij een cirkel, zodat bij deze projectie de vergroting in een punt in alle richtingen dezelfde is. Verder kan bereikt worden, dat alle oppervlakken van figuren op de kaart in een vaste verhouding tot de oppervlakken van de overeenkomstige figuren op de aarde staan. Zulke kaarten noemt men equivalent (Duits: flachentreu). De oppervlakte van de indicatrix in een punt in de kaart is dan gelijk aan die van de betreffende elementaire cirkel op aarde. Een aequivalente projectie kan nooit conform zijn.
De indeling van de kaartprojectie in verschillende typen en de daarbij gebruikelijke nomenclatuur is niet zeer verhelderend. Dit wordt nog versterkt door het feit, dat men soms dezelfde of nagenoeg dezelfde kaartprojectie onder verschillende namen aantreft. Naast de indeling aan de hand van de vervorming (conform, aequivalent of noch conform noch aequivalent) kan men een indeling maken in:
1. Projecties, waarvan het net van meridianen en parallellen op de een of andere wijze door een meetkundige constructie kan worden afgebeeld. 2. Projecties, waarbij de afbeelding uitsluitend tot stand kan worden gebracht met de bovengenoemde formules voor de berekening van rechthoekige coördinaten in de kaart uit geografische coördinaten op de aarde.
Deze eerste groep kan men dan weer onderverdelen in:
a. Projecties, bij welke deze constructie geen eigenlijke projectie is, doch een willekeurig aangenomen werkwijze bij het construeren van het net van meridianen en parallellen.
b. Perspectivische projecties. Deze kunnen als projecties in de gewone zin van het woord worden opgevat. Immers hierbij wordt de aarde afgebeeld door te projecteren uit een willekeurig punt. Hiertoe moeten worden gerekend uit de voorbeelden: 1 (projectiecentrum in het oneindige) en 2, de ook in Nederland voor de Rijksdriehoeksmeting toegepaste stereografische projectie.
Naast deze indelingen treft men voor een aantal kaartprojecties een benaming aan aan de hand van het oppervlak, waarop de aarde wordt afgebeeld. Zij gelden speciaal voor kaarten op ontwikkelbare oppervlakken. Dit vlak is in het algemeen een kegel, waarvan de cylinder en het platte vlak bijzondere vormen zijn. In het eerste geval denkt men zich een raakkegel aan de aarde, rakend ongeveer in het midden van het af te beelden terrein. Op een of andere methode wordt de aarde op deze kegel afgebeeld, daarna denkt men zich de kegelmantel langs een beschrijvende lijn open gesneden en legt men de kegelmantel in een plat vlak uit. Indien de aanraking van kegel en aarde geschiedt volgens een parallelcirkel, dan zullen de meridianen zich afbeelden als rechte, straalsgewijze van een punt uitgaande lijnen, terwijl de parallellen concentrische cirkels worden.
Deze kegelprojecties worden vaak toegepast. In even sterke mate is dit het geval met de cylinderprojecties. Hierbij wordt de kegel een cylinder, welke raakt aan de aequator. De meridianen worden dan onderling evenwijdige lijnen en de parallelcirkels worden eveneens evenwijdige lijnen, loodrecht op de meridianen. De onderlinge afstand van deze parallelcirkels is afhankelijk van het type van de cilinderprojectie, dat voortvloeit uit de hieraan te stellen eisen. De bekendste is die van Mercator (1569) Deze is conform en wordt veel gebruikt voor zeekaarten. Wil men de scheepskoers tussen twee plaatsen bepalen, dan trekt men op de kaart hun rechte verbindingslijn.
De hoek, die deze lijn met de meridianen maakt, is de scheepskoers. Het schip vaart op de zee dan steeds onder dezelfde hoek met de meridiaan. Het beschrijft een loxodromische lijn (fig. 8a). Neemt men de afstanden van de parallellen onderling gelijk, dan ontstaat de zgn. rechthoekige platkaart.
Krijgt de kegel een tophoek van 1800, dan ontaardt deze in een plat vlak en wordt de projectie een zgn. azimuthaleprojectie. Ligt het raakvlak in de polen, dan worden de meridianen rechte lijnen door de pool en de parallelcirkels concentrische cirkels om dit punt.
Een verdere onderscheiding, die gemaakt kan worden aan de hand van de ligging van het kaartvlak ten opzichte van de aarde en welke geldt voor kegel-, cylinder- en azimuthale projectie is die in:
1. Normale projecties. Hierbij valt de as van kegel of cylinder samen met de aardas.
2. Transversale projecties. Hierbij ligt de as van kegel of cylinder in het vlak van de aequator.
3. Scheve projecties. Daarbij heeft de kegelas een willekeurige stand.
Aan de hand van bovenstaande benamingen is dus duidelijk, dat men bijv. kan spreken van een aequivalente transversale azimuthale projectie. In Nederland is dus toegepast een scheve conforme azimuthale projectie.
Aangaande de kegelprojectie dient er op te worden gewezen, dat men voor het verkrijgen van de kleinst mogelijke vervormingen in het af te beelden gebied vaak in plaats van een raakkegel toepast een kegel, die de aarde snijdt. Bij de snijkegel zal dan de vervorming op de twee doorsnijdingscirkels nul worden. Hetzelfde kan men doen bij cylinderprojecties en azimuthale projecties. Men kan het kaartvlak zelfs door het middelpunt van de aarde leggen. Dit is alleen gebruikelijk bij toepassing der stereografische projectie voor afbeelding van een halfrond. In andere gevallen houdt de ligging van het snijvlak verband met de grootte van het af te beelden gebied.
Van de afgebeelde projecties kan nog worden vermeld de globulaire projectie, die veel voor planigloben toepassing vindt. Hierbij zijn de aequator, de middelste meridiaan en de cirkel, die de omtrek vormt, in gelijke delen verdeeld en zijn de meridianen en parallellen door telkens drie aldus verkregen corresponderende punten getrokken.
Bijzondere vermelding verdient de aequivalente projectie van Bonne. Daarbij zijn de parallelcirkels concentrische cirkels en getrokken op onderling gelijke afstanden langs de gerectificeerde middenmeridiaan van het af te beelden gebied. De langs de parallelcirkels op aarde gemeten lengte wordt langs parallelcirkels in de kaart op ware grootte uitgepast. Door de corresponderende punten van de parallelcirkels te verbinden, vindt men de afbeelding van de meridianen. Deze projectie is tot 1930 voor de topografische kaart van Nederland toegepast, aangezien de resultaten van de driehoeksmeting van Krayenhoff in het begin van de 19de eeuw in deze projectie waren berekend.
Bij de projectie van Mollweide is de onderlinge afstand der parallelcirkels evenredig aan de afstanden der vlakken, waarin deze werkelijk liggen. Verder zijn de meridianen verkregen door de afstanden langs de parallelcirkels onderling gelijk te verdelen. Bij de aequivalente projectie van Mercator-Sanson is de onderlinge afstand van de parallelcirkels langs de middenmeridiaan evenredig aan de afstand hiervan op aarde. Door langs de parallelcirkels eveneens de op aarde gemeten afstand in dezelfde verhouding af te passen, vindt men het net van meridianen.
Ten slotte zij nog gewezen op de o.a. in het voormalige Ned.-Indië gebruikte zgn. polyederprojectie. Hierbij wordt geen groot gebied tegelijk in één vlak afgebeeld, doch slechts graadtrapezia van 20 bij 20 min. Hierbij wordt de ellipsoïde vervangen door een veelvlak, dat door de veelheid der vlakken niet veel van de bol afwijkt en waarvan elk zijvlak dus bijna gelijk is aan het sferische trapezium op de bol. Spreidt men zulk een polyeder op een plat vlak uit, dan sluiten de grenslijnen niet aan elkander, doch bij een schaal 1 : 25 000 tot 1 : 100000 zijn de vervormingen zo gering, dat zij bij het aan elkander passen van enige naast elkander liggende bladen geen bezwaren opleveren.
De wijze van afbeelding op elk der kleine vlakken kan geschieden volgens vele methoden; in Ned.-Indië werd hiervoor de conforme kegelprojectie gekozen.
PROF. DR IR W. SCHERMERHORN
Lit.: Driencourt et Laborde, Traité des projections des cartes géographiques (5 dln, Paris 1932); Deetz and Adams, Elements of Map Projection (1921, U.S. Dep. of Commerce, Coast and Geodetic Survey, special publication no. 68); M. Groll, Kartenkunde. I Die Projectionen (Sammlung Göschen nr. 30).
