is de aanduiding van de verzameling van de rij getallen 1, 2, 3,.... De grondslag van ons getallensysteem is het systeem van de natuurlijke getallen.
Door J. W. R. Dedekind is voor het eerst een aantal eigenschappen uitgesproken, waardoor het systeem der natuurlijke getallen wordt gekenmerkt. In de formulering van G. Peano zijn de bedoelde vijf axioma’s genoemd bij de behandeling van het „getal”.
Deze axioma’s zijn onafhankelijk van elkaar; de drie grondbegrippen „één”, „opvolger” en „natuurlijk getal” zijn echter niet onafhankelijk van elkaar: „één” is met behulp van „opvolger” en „natuurlijk getal” te definiëren, „natuurlijk getal” is met behulp van „één” en „opvolger” te definiëren. Het axiomasysteem is zgn. monomorph, d.w.z. zijn voorstellingen zijn iso-morph (z isomorfie). Wanneer we het begrip van de aftelbaar oneindige verzameling bekend veronderstellen, dan kunnen we zeggen, dat men uit elke afgetelde oneindige verzameling, waarvan de elementen op een bepaalde wijze in een rij geordend zijn, door een geschikte aanduiding van de begrippen „één”, „opvolger” en „natuurlijk getal” een realisering van het axiomasysteem hebben. De natuurlijke getallen worden dus door het axiomasysteem als een aftelbaar oneindige verzameling gekenmerkt; de natuurlijke getallen zijn dus in deze hoedanigheid ordinaalgetallen.Om aan te tonen, dat ze ook als kardinaalgetallen van eindige verzamelingen zijn te beschouwen, kan men eerst definiëren, dat een verzameling M eindig is, wanneer haar elementen zich eeneenduidig op de elementen van een „segment” (i, n) van de rij der natuurlijke getallen laten afbeelden. Dat er slechts één zodanig „segment” bestaat, waarop de elementen van M zich eenduidig laten afbeelden, volgt uit de stelling, dat twee verschillende „segmenten” van de getallenrij niet gelijkmachtig (z gelijkmachtigheid) zijn. Het op die wijze eenduidig bepaalde getal n met de eigenschap, dat de elementen van M eenduidig op de getallen van het segment (i, n) zijn af te beelden, wordt het aantal elementen van M of ook het kardinaalgetal van M genoemd.
PROF. DR F. LOONSTRA.
