(1, wiskunde) is een term, die in de algebra, de analytische meetkunde en de topologie in verschillende zin wordt gebezigd.
In de algebra is de dimensie of graad van een gelijkslachtige veelterm ten opzichte van enige veranderlijken, het getal, dat aanwijst hoeveel maal die veranderlijken te zamen in iedere term als factor optreden (z graad).
In de analytische meetkunde verstaat men onder de dimensie van een stelsel meetkundige figuren het aantal onafhankelijke en eigenlijke parameters, waardoor één dier figuren wordt bepaald. Zo is bijv. het stelsel der cirkels in de ruimte zesdimensionaal, omdat een cirkel in de ruimte door zes parameters of gegevens wordt bepaald; het stelsel der punten in de ruimte is driedimensionaal (waarom men de ruimte zelve ook wel, hoewel minder juist, driedimensionaal noemt), dat der vlakken in de ruimte eveneens en dat der stralen in de ruimte vierdimensionaal (sstralenruimte). Voor ruimten van meer dan drie dimensies z meerdimensionale meetkunde.
In de topologie is de thans gebruikelijke definitie van dimensie afkomstig van Menger en Urysohn en luidt: a. de lege verzameling heeft dimensie -i; b. de dimensie van een ruimte is het kleinste gehele getal n met de eigenschap, dat elk punt willekeurige kleine omgevingen heeft waarvan de randen dimensiegetallen hebben, die kleiner dan n zijn. L. E. J. Brouwer bewees in 1911, dat het onmogelijk is om een afbeelding tot stand te brengen tussen een n-dimensionale Euclidische ruimte en een m-dimensionale Euclidische ruimte, die zowel eeneenduidig als ook in beide richtingen continu is, tenzij m = n (zgn. „Beweis der Invarianz der Dimensionenzahl”).
Lit.: W. Hurewicz-H. Wallman, Dimension Theory (Princeton 1948); K. Menger, Dimensionstheorie (Leipzig 1928).
(2, natuurkunde). De dimensie van een grootheid geeft aan, in welke eenheden zij moet worden uitgedrukt. Zou men overgaan op andere eenheden, dan wordt de getallenwaarde van de beschouwde grootheid anders, wanneer een of meer van de veranderde grondeenheden in haar dimensieformule voorkomen. Grondeenheden zijn bijv. delengte-eenheid (cm), detijd-eenheid (seconde) en de massa-eenheid (gram). De dimensie van een lengte duidt men aan met L, die van een tijd met T, die van een massa met M. Een snelheid wordt uitgedrukt door een afgelegde weg per bepaalde tijd en heeft daarom de dimensie (LT-1), een versnelling (LT-2), een kracht (MLT-2).
Op de keper beschouwd is eigenlijk de laatste dimensieformule enigszins gekunsteld, omdat een kracht er door geïdentificeerd wordt met haar dynamische uitwerking (massa X versnelling), terwijl zij toch wel degelijk een zelfstandige persoonlijkheid bezit (bijv. ook andere werkingen en aanwijsbare oorzaken heeft). Deze „ontpersoonlijking door terugvoeren op enkele grondeenheden” keert ook in het onderstaande weer.
Betrekt men de warmteverschijnselen in de be-schouwingen, dan komen twee nieuwe grondeenheden in het spel, nl. de eenheid voor temperatuurverschillen (graad) en voor warmtehoeveelheid (calorie). De snelheid van verwarmen heeft de dimensie (°T-1). Nadat men de warmte is gaan zien als een vorm van energie, zegt men, dat de warmtehoeveelheid dezelfde dimensie heeft als de energie, nl. (ML2T~2). Zuiver fenomenologisch is deze ontpersoonlijking niet juist. De proeven leren slechts, dat een calorie altijd in dezelfde hoeveelheid arbeid overgaat, zodat een warmtehoeveelheid (in calorieën) equivalent* is met een arbeidshoeveelheid (in ergs) en men mag zeggen: i cal = A erg, waarbij de grootheid A dan de dimensie calper-erg heeft. Het is immers duidelijk, dat een calorie iets anders is dan een zeker aantal ergs, zodat A niet dimensieloos is.
Men heeft nu echter afgesproken, A wel als dimensieloos te beschouwen, zodat de calorie de dimensie (ML’T-2) is opgedrongen en de calorie zelf uit de dimensie-formules is verdwenen. Deze afspraak is niet geheel willekeurig, omdat de kinetische theorie van de warmte ons heeft geleerd, dat de warmte niet anders is dan kinetische energie van de moleculen en dus inderdaad direct als een mechanische eigenschap is aan te zien, zij het dan op moleculaire schaal.
Beschouwt men electrische grootheden, dan tre-den in de dimensieformules de beide electrische grondeenheden op: de ampère (A) en de volt (V). Ook deze heeft men in de vorige eeuw, enigszins ten onrechte, uit de dimensieformules weggewerkt door afspraken. Een wet uit de electriciteitsleer (wet van Joule) leert nl., dat een V-A-sec equivalent is met een zeker aantal arbeidseenheden. Men heeft daarom afgesproken, aan de V-A-sec de dimensie (ML2T-2) te geven. Een andere wet (Lorentzkrdcht) leerde, dat een A2 equivalent is met een kracht. Ook hier heeft men bij afspraak het woord „equivalent” vervangen door „gelijk”.
Door deze beide afspraken zijn de A en de V als zodanig uit de dimensieformules verdwenen en vervangen door resp. (LaMéT-1) en (LIMIT-2) (electromagnetische stelsel). Uit de electrostatica (wet van Coulomb) volgt echter, dat de electrische stroom en spanning nog op andere wijze zijn uit te drukken in M, L en T; in het electrostatische stelsel is (stroom) = (L/2M2T-2) en (spanning) = (L^MIT-1). Er is in de laatste tijd een stroming merkbaar, de beperking van de gronddimensies tot 3 te laten vallen en althans één van de electrische gronddimensies ook weer in de dimensieformules toe te laten.
Het grootste nut van de dimensiebeschouwingen bestaat in het controleren van berekeningen. In elk stadium van een berekening met fysische grootheden moeten aan beide zijden van het gelijkteken van een vergelijking gelijksoortige grootheden staan, dus linker en rechter lid moeten dezelfde dimensie hebben. Vindt men bijv. voor het linker lid de dimensie (calx graad* Lu Tv Mw), dan moet het rechter lid dit ook hebben. Het spreekt vanzelf, dat deze overeenstemming in de dimensies behouden blijft, als men de cal vervangt door (ML2T-2), echter is de controle op de berekeningen dan minder goed, omdat in geval van afwijkingen niet direct te zien is, of het aan de warmte-eenheden of aan de mechanische is te wijten.
Deze dimensiecontröle gaat over in dimensieanalyse, wanneer men haar gebruikt om af te leiden met welke exponent een zekere grootheid in een fysische formule moet voorkomen. Als voorbeeld leiden we hier de wet van Poiseuille af, die aangeeft, hoe de hoeveelheid per sec door een buis
stromende vloeistof afhangt van de straal van de buis. De dimensie van het per sec doorstromende volume Eis cm3-per-sec, in formule L3T_1. Onderstel nu, dat deze hoeveelheid bepaald wordt door: 1. de straal van de buisdoorsnede r, die een dimensie heeft van L; 2. het drukverval in de buis q, dat een dimensie heeft ML-2T-2; 3. de viscositeitscoëfficiënt s, die een dimensie heeft ML“1T_1.
Onderstel nu, dat V = r*gY sz, dan gaat het er om, de exponenten x, y en z te bepalen. Daartoe worden van beide leden de dimensies opgemaakt. Van het linker lid is deze L3T_1, van het rechter L* (ML-2T-2)y.(ML-1T-1)2 = My+2L*-2y-zT-2v-z. Nu moeten de dimensies van het linker en rechter lid aan elkaar gelijk zijn, dus y + z = o; x — 2y — z = 3; — 2y — z = ■— 1. Hieruit volgt: x = 4, y = 1, z = ■— 1, zodat de te vinden wet luidt: V = Constante X. r*.q.s-1 (Wet van Poiseuille).
Een verwante methode maakt gebruik van kengrootheden, ook kengetallen genoemd. Dit zijn dimensieloze breuken, gevormd uit een aantal parameters van het beschouwde probleem. Stroomt bijv. een vloeistof van dichtheid Q en viscositeit 7? met snelheid v onder een druk p door een cilindrische buis van lengte l en straal r, dan treden de kengetallen van Euler en Reynolds op: Eu = l(iv2jrp\ Re = Qvljrj. Daar dit de enige kengrootheden voor dit probleem zijn, moet de één een functie zijn van de ander. Bij kleine Re is dit een lineaire functie: Re = C.Eu. Uitwerken hiervan geeft inderdaad de wet van Poiseuille (denk aan V = v.71 r‘).
Bij grotere snelheid blijkt overigens experimenteel de functie niet meer lineair te blijven, maar bij benadering over te gaan in: Re = AT. Eu-!, de zgn. wet van Blasius (z hydraulica).
In andere gevallen kunnen ook electrische en thermische grootheden in de kengrootheden voorkomen. De wijze, waarop deze er uit opgebouwd worden, vloeit vanzelf voort uit de randvoorwaarden en differentiaalvergelijkingen van het probleem, zonder dat men deze vergelijkingen hoeft op te lossen. PROF. DR C. ZWIKKER
PROF. DR J. A. PRINS
Lit.: Bridgman-Holl, Dimensionsanalyse (1932).
