betekent in de wiskunde: uit twee (positieve of negatieve) termen bestaande (zie binomium van Newton en binomiaalvergelijking).
Binomiaalcoëfficiënten zijn de coëfficiënten die in het Binomium van Newton optreden. Tegenwoordig wordt de coëfficiënt van xn-mym in de ontwikkeling van (x +y)n doorgaans met (n/m) aangeduid.
De binomiaalcoëfficiënt (n/m) is gelijk aan het aantal combinaties m en n van n elementen, d.w.z. aan het aantal verschillende manieren, waarop men uit n (verschillende) objecten er m kan kiezen. Om deze reden wordt in plaats van (n/m) ook wel het symbool Cnm gebruikt (C = eerste letter van „combinatie”).
De belangrijkste eigenschappen der binomiaalcoëfficiënten zijn door Blaise Pascal (1623-1662) in zijn Traité du triangle arithmétique (1654, gepubliceerd 1665) afgeleid.
PROF. DR D. VAN DANTZIG
Binomiaalreeks
Is m een natuurlijk getal, dan laat zich (a + b)m ontwikkelen volgens het binomium van Newton. Dat deze ontwikkeling slechts een eindig aantal termen oplevert is een gevolg van het feit, dat de binomiaalcoëfficiënten (m/1), (m/2)...., (m/k),.... vanaf zekere k nul zijn en blijven.
Indien echter m geen natuurlijk getal is, gaat de voor het binomium gegeven ontwikkeling tot in het oneindige door en men spreekt dan van de binomiaalreeks.
De onjuiste mening, dat de ontwikkeling ook voor andere waarden van x of m geldig zou zijn heeft aanvankelijk tot wonderlijke resultaten geleid. Voor x = + 1, m = - 1 gaat het rechter lid over in de reeks 1-1+1-1+1-1+ ..., waaraan men in de 18de eeuw meende de waarde ½ (die het linker lid aanneemt) te moeten toekennen. Dit werd soms ook gerechtvaardigd op grond van de „harmonie der schepping”, daar het rechter lid bij beperking tot een eindig aantal termen de waarden 0 resp. 1 aanneemt, al naar gelang dit aantal even of oneven is; ½ is het gemiddelde van 0 en 1. Eerst nadat men er zich aan gewend had, de reeksen in convergente en divergente te onderscheiden, welker exacte theorie door N. H. Abel en Cauchy gegeven werd, kon men dergelijke onnauwkeurige redeneringen volledig vermijden.
DR F. LOONSTRA
Binomiale verdeling
of verdeling van Bernoulli noemt men de waarschijnlijkheidsverdeling van het aantal (k) successen dat men bij n herhalingen van een experiment kan krijgen, indien bij iedere herhaling onafhankelijk van de resultaten der vorige de kans op een succes p is.
De uitdrukking voor Pk werd opgesteld door Jacobus I Bernoulli (Ars Conjectandi, 1713). Een klassiek voorbeeld van toepassing bestaat daarin, dat men bij n trekkingen met teruglegging na elke trekking uit een vaas die een aantal witte en een aantal rode ballen bevat (welke aantallen zich verhouden als p: (1 - p) vraagt naar de waarschijnlijkheid, dat juist k witte ballen zullen worden getrokken. Moderne toepassingen bestaan bijv. daarin, dat men de waarschijnlijkheid beschouwt, dat, bij toediening van een bepaalde dosis van een geneesmiddel of een vergif aan n proefdieren, juist k daarvan zullen genezen resp. daaraan doodgaan.
