fof overoneindige getallen) zijn symbolen, met behulp waarvan men in de verzamelingsleer zekere eigenschappen van oneindige verzamelingen aanduidt.
a. De zgn. transfiniete cardinaalgetallen zijn te beschouwen als generalisatie van eindige cardinaal-getallen. Is nl. M een verzameling, die éénéénduidig op een verzameling N is af te beelden, dan heten M en N gelijkmachtig (ook aequivalent); aan deze verzamelingen wordt hetzelfde cardinaalgetal toegevoegd. Zijn M en N eindige verzamelingen, dan drukt hun gelijkmachtigheid uit, dat ze „evenveel” elementen bezitten. Is echter M een oneindige verzameling (bijv. de verzameling van de natuurlijke getallen), dan duidt men de machtigheid aan door een symbool, dat een transfiniet cardinaalgetal wordt genoemd. Voor de verzamelingen, gelijkmachtig met die van de natuurlijke getallen, gebruikt men het symbool אo („alef” is de eerste letter van het Hebreeuwse alphabet), en men noemt deze verzamelingen (oneindig) aftelbaar. De verzameling C van alle reële getallen 0 ≦ X ≦ 1is niet-aftelbaar; de machtigheid van C wordt aangeduid door het transfiniete cardinaalgetal ﬡ.
Men zegt ﬡo < ﬡ omdat elke verzameling van de machtigheid ﬡ een echte aftelbare deelverzameling bezit. G. Cantor, de grondlegger van de theorie van de oneindige verzamelingen, heeft het vermoeden uitgesproken, dat ﬡX het eerste op ﬡX0 volgende grotere cardinaalgetal is (continuumhypothese). Bij een willekeurige verzameling A kan steeds een verzameling B worden aangegeven met een grotere machtigheid, nl. de verzameling van de deelverzamelingen van A. Bij elk transfiniet cardinaalgetal is dus steeds een groter transfiniet cardinaalgetal te vinden.
b. De zgn. transfiniete ordinaalgetallen kenmerken een eigenschap van (oneindige) welgeordende (z orde) verzamelingen; zijn nl. twee welgeordende verzamelingen M en N zodanig één-éénduidig op elkaar af te beelden, dat de afbeelding bovendien de bestaande orderelaties onveranderd laat, dan kennen we aan zulke verzamelingen hetzelfde ordinaalgetal toe. Voor eindige verzamelingen krijgt men dan de eindige ordinaalgetallen en anders zgn. transfiniete ordinaalgetallen.
Lit.:A. Fraenkel, Einl. in die Mengenlehre (New York 1946); E. Kamke, Mengenlehre (Berlin).
