noemt men in de wiskunde een verzameling (z verzamelingsleer), wanneer het mogelijk is, aan elk van haar elementen een natuurlijk getal als rangnummer toe te voegen, en wel zo, dat twee verschillende elementen ook steeds verschillende rangnummers hebben. Men gebruikt daarbij de natuurlijke getallen in hun natuurlijke volgorde, d.w.z. men geeft een element het rangnummer 1, een ander het rangnummer 2, enz.
Zijn daartoe slechts de natuurlijke getallen tot en met een bepaald natuurlijk getal nodig, dan is de verzameling eindig; zijn echter alle natuurlijke getallen nodig, dan is de verzameling aftelbaar oneindig. Anderzijds is ieder eindige verzameling aftelbaar, maar niet iedere oneindige verzameling is aftelbaar oneindig.Het begrip der aftelbaarheid is in 1872 in de wiskunde ingevoerd door Georg Cantor, toen deze met de systematische bestudering van oneindige verzamelingen een aanvang maakte, en verschillende „graden van oneindigheid” machtigheden) leerde onderscheiden. In de door Cantor gegeven classificatie van oneindige verzamelingen naar hun machtigheid vormen de aftelbaar oneindige verzamelingen na de eindige de eenvoudigste categorie.
De belangrijkste eigenschappen van aftelbare verzamelingen zijn:
1. Iedere deelverzameling (d.i. een verzameling die deel uitmaakt van) van een aftelbare verzameling is zelf aftelbaar, dus eindig of aftelbaar oneindig. In het bijzonder is iedere verzameling van natuurlijke getallen aftelbaar. Bijv. is de verzameling van alle getallen groter dan 6, van alle even getallen, van alle n-vouden (waarbij n zelf een natuurlijk getal is), van alle quadraatgetallen, alle priemgetallen, enz. aftelbaar.
2. De vereniging van twee (of een willekeurig eindig aantal) aftelbare verzamelingen is aftelbaar. Daar de verzameling van alle negatieve getallen evenals die van alle positieve getallen aftelbaar oneindig, en de verzameling die alleen het getal nul bevat eindig, dus eveneens aftelbaar is, is ook de vereniging dezer drie verzamelingen, dat is de verzameling van alle gehele getallen aftelbaar.
Buiten de wiskunde is deze aftellingsmethode als rangschikkings- of nummeringsmethode van belang, wanneer men bijv. enige eindige verzamelingen van elk waarvan de elementen in een rij gerangschikt zijn, in één enkele rij moet rangschikken.
3. De vereniging van een aftelbaar aantal aftelbare verzamelingen is zelf aftelbaar. De rangschikking kan daarbij volgens de (van Cantor afkomstige) diagonaalmethode geschieden (zie schema 4), die eveneens buiten de wiskunde kan worden toegepast, wanneer men de elementen van een zeer groot aantal zeer grote verzamelingen, die elk voor zich gerangschikt zijn, in één enkele rij moet rangschikken. Men plaatst daartoe de rijen onder elkaar, en rangschikt volgens de achtereenvolgende in de diagonale richting van links beneden naar rechts boven lopende lijnen. Het nde element van de kde rij krijgt bij deze aftelling het rangnummer ½ (n+k)2- ½ (n + 3k) + 1.
PROF. DR D. VAN DANTZIG
Lit.: B. P. Haalmeyer en J. H. Schogt, Inleiding tot de leer der verzamelingen (Groningen 1927); A. Fraenkel, Mengenlehre (2. Aufl. Berlin 1923; Dover Publications 1940); G. F. L. P. Cantor, Zur Begründung der transfiniten Mengenlehre, Mathematische Annalen 46, pag. 481-512 (1895), 49, pag. 207-246 0897)» G. Mannoury, Methodologisches und Philosophisches zur Elementarmathematik (Haarlem, P. Visser 1909).
