De uitbreidingen van het stelsel van de natuurlijke getallen tot de rationale, de irrationale, de negatieve en de complexe getallen danken hun ontstaan aan de wens om voor bepaalde practische, meetkundige of algebraïsche vraagstukken een oplossing te vinden, die tot dusverre onoplosbaar bleken te zijn. Met elk van deze getalsoorten zijn belangrijke resultaten gevonden, lang voor dat men exacte definities van de nieuwe getallen bezat.
Een zuiver arithmetische opbouw van het getallensysteem is eerst in de 19de eeuw gegeven. De grootste moeilijkheid voor zo’n opbouw lag in de definitie van de irrationale getallen. Dit probleem is door K. Weierstrasz (1860), Ch. Méray (1869), G. Cantor (1872), Dedekind (1872) en P.
Bachmann (1892) op verschillende wijzen opgelost. Door Méray en Cantor met behulp van de theorie van de zgn. fundamentaalrijen (z rij), door Dedekind met behulp van sneden, door Bachmann met zgn. intervalschakelingen. Uitgaande van de rationale getallen beschouwt Méray (en Cantor) de verzameling van de fundamentaalrijen. Twee fundamentaalrijen {an} en {bn} worden gelijk genoemd, als {an—bn} een nulrij is. Vat men nu de fundamentaalrijen als een nieuwe klasse van grootheden (de zgn. reële grootheden of reële getallen) op en identificeert men het rationale getal a met de fundamentaalrij a, a, a, ..., dan omvat de verzameling van de reële getallen die van de rationale getallen. De methode van Dedekind berust op het begrip snede. Men vat de verzameling van de sneden (van rationale getallen) als een verzameling van nieuwe grootheden (reële grootheden of reële getallen) op en identificeert de zgn. rationale sneden met de corresponderende rationale getallen.
Dan omvat de verzameling van de reële getallen die van de rationale getallen. Voor de invoering van de reële getallen door intervalschakelingen, zie bijv. K. Knopp, Unendliche Reihen. Men kan de reële getallen voorstellen door systematische breuken met het grondtal g (waarin g een natuurlijk getal > 1 is); voor g = 10 spreken we van de decimale voorstelling van de reële getallen. Elk reëel getal s bepaalt eenduidig een geheel getal p(>= < 0) door de voorwaarde p <= s < p +1. Nu wordt het interval I0 van p tot p + 1 in g gelijke delen verdeeld.
Bij elk van deze delen rekenen we hierbij — en ook bij de volgende stappen — het linkereindpunt, niet echter het rechtereindpunt. Dan behoort s tot één en slechts één deel, dus p + z1/g <= s < (z1+1)/g voor zeker „cijfer” z1.Het hierdoor bepaalde interval I1, wordt opnieuw in g gelijke delen verdeeld en we bepalen het cijfer z2 door p + z1/g + z2/g2 <= s < p + z1/g + (z2+1)/g2 enz.
We mogen dan schrijven s = p + 0, z1 z2 z3 … Voor g = 2 spreken we van de dyadische schrijfwijze van de reële getallen; dan zijn de zi òf 0 òf 1. De verzameling van de reële getallen is niet-aftelbaar.
PROF. DR F. LOONSTRA
Lit.: Ch. Méray, Nouveau précis d’analyse infinitésimale (Paris 1872); R. Dedekind, Stetigkeit u. irrationale Zahlen (Braunschweig 1872); G. Cantor, in: Math. Mathem. Annalen 5, 1872 en 21, 1883; V. v.
Dautscher, Vorlesungen üb. d. Weierstraszsche Theorie d. irrationalen Zahlen (Leipzig 1908); F. Schuh, Het getalbegrip in het bijz. het onmeetbare getal (Groningen 1927; waarin o.a. de opbouw van de reële getallen door P. J. H. Baudet voorkomt).
Voor verdere lit. Enzykl. d. Mathem. Wissensch., Bd I, Algebra u. Zahlentheorie.
