Onder een complex getal verstaat men een geordend paar van reële getallen a en b, aldus voorgesteld: (a; b), terwijl de volgende afspraken gelden:
1. dan en slechts dan is (a;b) = (c;d), als a = c en b = d;
2. (a;b) + (c;d) = (a + c;b + d); 3. (a;b) x (c;d) = (ac — bd;ad + bc).
Het complexe getal (o;o) wordt nulelement genoemd, het complexe getal (1 ;0) eenheidselement. Zowel de optelling als de vermenigvuldiging voldoet aan de commutatieve en de associatieve wet. De complexe getallen vormen te zamen een lichaam, want behalve de optelling, aftrekking en vermenigvuldiging is ook de deling (eenduidig) uitvoerbaar, wanneer deling door het nulelement wordt uitgesloten.
De complexe getallen (a;o) gedragen zich in de bewerkingen overeenkomstig als de reëlegetallen a; daarom noemen we a het reële deel van het complexe getal (a;b). Het complexe getal (0;1) voldoet aan (0;1) x (0;1) = (— 1;0).
De aldus verkregen „complexe” algebra verschilt dan ook uitsluitend van de gewone, door de mogelijkheid, ook op negatieve getallen de vierkantswortel trekking toe te passen (√—1 = i).
Lange tijd hebben de wiskundigen gemeend, dat hierin een tegenstrijdigheid lag opgesloten, en dus dat de complexe getallen iets onmogelijks uitdrukten. Men noemde deze getallen daarom onbestaanbaar of imaginair, in tegenstelling tot de gewone of enkelvoudige getallen, die dan bestaanbaar of reëel genoemd werden, benamingen, die nog steeds algemeen gebruikelijk zijn, hoewel zij licht tot misverstand aanleiding geven.
Een bijzonder duidelijke voorstelling van het begrip complex getal wordt verkregen door de componenten a en b als de cartesische coördinaten van een punt in een plat vlak op te vatten, en het complexe getal zelf door de vector voor te stellen, die van de oorsprong der coördinaten naar dat punt loopt. De vier hoofdbewerkingen met complexe getallen kunnen dan als volgt meetkundig worden voorgesteld:
1. als A = a + bi en B = c + di is, dan wordt S = A + B verkregen, door de vectoren OA en OB samen te stellen op de wijze waarop in de mechanica twee krachten worden samengesteld, of m.a.w.: OS is de diagonaal van het parallelogram, op de vectoren OA en OB als zijden beschreven.
Om het product A x B te verkrijgen, moet dan de eenheid van lengtemaat op de x-as („reële” as genoemd) worden uitgezet en moeten vervolgens de beide gelijkvormige driehoeken OEB en OPA worden geconstrueerd, waarna de vector OP het product P = A x B voorstelt. Nog overzichtelijker wordt deze voorstelling, indien men het complexe getal a + bi schrijft in de vorm m (cos φ + i sin φ), waarin m = √ a2 + b2 de lengte van de vector (ook modulus genoemd) voorstelt en (p de hoek, die de vector met de x-as maakt (het argument). Gemakkelijk is dan aan te tonen, dat het product van twee complexe getallen verkregen wordt door de moduli te vermenigvuldigen en de argumenten op te tellen en het quotiënt door de moduli op elkander te delen en de argumenten af te trekken.
Door de invoering van de bovenomschreven complexe getallen heeft de algebra een belangrijke uitbreiding ondergaan, die vnl. hierin bestaat, dat iedere nde machtsvergelijking n wortels bezit (zgn. hoofdstelling van de algebra of stelling van d’Alembert) en dus dat geen enkele vergelijking als onoplosbaar behoeft te worden beschouwd. Zijn daarbij de coëfficiënten van de vergelijking enkelvoudige getallen, dan zijn de complexe wortels twee aan twee geconjugeerd, d.w.z. dat naast een wortel a + bi steeds een wortel a — bi moet voorkomen.
Behalve in de algebra, heeft men de complexe getallen ook in de differentiaal- en integraalrekening, de functietheorie en de analytische meetkunde ingevoerd (z complexe functies en complexe punten), waardoor ook deze takken van wiskunde een veel grotere uitbreiding hebben ondergaan, dan zonder dit hulpmiddel mogelijk was. Ook in de theoretische natuurkunde en met name in de relativiteits-theorie hebben de algebra en analyse van de complexe grootheden tot hoogst eenvoudige voorstellings- en uitdrukkingswijzen gevoerd.
Complexe getallen met meer dan twee componenten en operatieregels, die min of meer aan de bovenomschrevene analoog zijn, zijn door verschillende schrijvers ingevoerd (zie beneden), doch hebben tot nu toe een veel beperkter toepassing gevonden dan de Gaussische. (Voorts z algebra en analytische meetkunde).
Geschiedenis.
De eerste wiskundige, die de bewerking der vierkantsworteltrekking ook op negatieve getallen toepaste en met de aldus gevormde symbolen opereerde (zij het zonder een juist begrip van de draagwijdte van deze rekenwijze) schijnt Cardano geweest te zijn, die in zijn in 1545 verschenen Ars magna van deze „onmogelijke” wortelvormen gebruik maakte, om een algemene oplossing voor de vergelijking van de derde graad te vinden. De rekenwijze is daarna eeuwen lang in gebruik gebleven en uitgebreid (o.a. door Descartes in de 17de en Argand in de 18de eeuw), zonder dat de mogelijkheid, de tot nu toe zinledige symbolen als dubbelgetallen te interpreteren, was ontdekt. Dit denkbeeld is, voor zover bekend, het eerst door Kasper Wessel (1745-1818) geopperd in een in 1799 verschenen werk, en vervolgens door Gauss tot een volledige wetenschappelijke theorie uitgewerkt. Complexe grootheden met meer dan twee componenten zijn in de 19de eeuw door Grassmann en Hamilton voor het eerst ingevoerd en later door vele andere schrijvers (waaronder de Nederlander J.
A. Schouten) bestudeerd.
PROF. G. MANNOURY.
