CONTINU

betekenis & definitie

is in de wiskunde een eigenschap, die aan bepaalde functies wordt toegekend. Zij y—f(x) een reële eenduidige functie van de reële veranderlijke x; de verzameling van de reële getallen, waarvoor f (x) gedefinieerd is, zij F.

Stel x = x„ een verdichtingspunt van F, terwijl x0 bovendien tot F behoort. Dan heet ƒ (x) in het punt x„ continu, wanneer ƒ (x) in het punt x0 een eindige grenswaarde bezit, die met de functiewaarde f (x0) in het punt x0 overeenstemt. Anders gezegd: f(x) heet in het punt x0 continu, als voor elke e > o een 𝛅 = 𝛅 (e) > o bestaat, zodat | ƒ (x) —ƒ (x0) | < E voor alle <i>x van V, waarvoor |x—x01 < 𝛅. Men spreekt af, dat f (x) in elk geïsoleerd punt van F continu zal worden genoemd.

Is f (x) in x0 continu, wanneer men uitsluitend acht slaat op de punten van F, die tot een linkszijdige (resp. rechtszijdige) omgeving van x0 behoren, dan noemt men f (x) linkszijdig (resp. rechtszijdig) continu voor = x„. Zo is bijv. de functie y = x :\x\ met ƒ (o) = 1 voor x„ = o rechtszijdig, doch niet linkszijdig continu. Is ƒ (x) continu voor alle punten van een deelverzameling >V' van F, dan noemt men f (x) continu in de verzameling F'.Een gehele rationele functie ƒ (x) van de reële veranderlijke x is continu voor elke waarde van x; een rationele functieƒ (x) is continu voor elke waarde van x, behalve voor die waarden van x, waarvoor de functie niet gedefinieerd is De continue functies hebben een aantal belangrijke eigenschappen, zoals:

1. Een functie, die in een interval continu is, neemt elke waarde tussen twee van zijn waarden aan.
2. Is een functie ƒ (x) in een begrensde, gesloten verzameling F continu, dan is ƒ (x) ook begrensd in F terwijl ƒ (x) in minstens één punt van F zijn grootste resp. zijn kleinste waarde werkelijk aanneemt.

Wanneer ƒ (x) in elk punt van de verzameling V continu is, terwijl voor elke E > o er een 𝛅 > o bestaat, zodanig, dat | ƒ (x1)—ƒ (x2) I < E voor elke x, en x2 van V, waarvoor | x1 —x2) < 𝛅, dan noemt men ƒ (x) in V gelijkmatig continu. Een functie, die in een begrensde en tevens gesloten verzameling continu is, is tevens gelijkmatig continu. De continuïteit van een functie van meerdere veranderlijken wordt overeenkomstig als voor één veranderlijke gedefinieerd.

In de topologie noemt men de afbeelding/ van de topologische ruimte X in de ruimte Y continu, wanneer het beeld van elk verdichtingspunt van een willekeurige deelverzameling A van X verdichtingspunt van de beeldverzameling ƒ (A) is. Een eenduidige afbeelding ƒ van de ruimte X in de ruimte Y heet een topologische afbeelding of een homomorfe afbeelding, wanneer de omkering van ƒ eveneens een continue afbeelding is; men noemt X en zijn beeld dan topologisch aequivalent.

DR F. LOONSTRA.