kan men ontstaan denken door de eis te stellen, dat de aftrekking van natuurlijke getallen steeds mogelijk is. Is a < b, dan is a—b in de rij der natuurlijke getallen onmogelijk; wel bestaat een getal c = b—a. Stelt men nu a—b = —c, dan noemt men dit een negatief getal.
Om op een strenge manier de negatieve getallen in te voeren kan men het natuurlijke getal a voorstellen door (a+b, b), het getal 0 door (b, b) en het negatieve getal —a door [b, a + b), waarin b steeds een willekeurig natuurlijk getal is. Elk getal heeft onbeperkt veel voorstellingen, maar elk symbool (a, b) definieert één en slechts één getal, nl. het natuurlijke getal a—b, als a>b, het getal o, als a = b en het negatieve getal — (b—a), als a<b. Men definieert nu (a, b) + (c, d) = (a+c, b +d), (a, b) (c, d) = (ac + bd, ad + bc), (a, b) < (c, d) of (c, d) > (a,b), als a + d < b + c. Men overtuigt zich eenvoudig1. dat de definities onafhankelijk zijn van de keuze van de linker symbolen;
2. dat aan alle rekenwetten van de natuurlijke getallen is voldaan;
3. dat de oplossing van vergelijking a + x = b in het uitgebreide systeem onbeperkt en eenduidig mogelijk is (de oplossing wordt door b—a aangeduid);
4. dat a.b = 0 dan en slechts dan als a = 0 of b = 0. De verzameling van de natuurlijke getallen, nul en de hiermee ingevoerde negatieve getallen, heet de verzameling van de gehele getallen.
