of collineaire verwantschap noemt men in de (projectieve) meetkunde de één-éénduidige verwantschap, die aan elk punt met coördinaten (x) ten opzichte van een grondpuntenvijftal het punt met dezelfde coördinaten ten opzichte van een ander grondpuntenvijftal toevoegt. Zulk een collineatie wordt ook bereikt door punten aan elkaar toe te voegen, welker coördinaten (x) en (X) ten opzichte van één en hetzelfde stelsel verbonden zijn door een lineaire homogene transformatie.
Een collineatie voegt aan puntenreeksen, vlakkenbundels, puntenvelden, vlakkenschoven, rechtenvelden, rechtenschoven en waaiers daarmee soortgelijke verzamelingen toe.
Een collineatie is volkomen bepaald door de toevoeging van vijf punten aan vijf punten of van vijf vlakken aan vijf vlakken. Een collineatie heeft in het algemeen vier coïncidentiepunten (dekpunten), d.w.z. punten, die met hun toegevoegde punt samenvallen. De dekelementen van de meest algemene collineatie vormen de hoekpunten, zijvlakken en ribben van een viervlak. De hoekpunten van dit viervlak, die in een zijvlak zijn gelegen, zijn de enige punten van dit zijvlak, die onveranderlijk zijn.
De collineaties van de ruimte vormen een groep, de zgn. projectieve groep. De projectieve groep bezit zgn. ondergroepen van collineaties, die door de aard van de dekelementen zijn gekenmerkt.
Een centrale collineatie (of perspectiviteit) is een collineatie waarbij alle punten van een vlak V (collineatievlak) en bovendien nog één afzonderlijk punt (collineatiecentrum) invariant zijn. Toegevoegde punten hebben een verbindingsrechte door het centrum, toegevoegde vlakken hebben een snijlijn in het collineatievlak. Heeft een centrale collineatie de eigenschap, dat haar kwadraat de identische collineatie is, dan noemt men de collineatie involutorisch. Stelt V het zgn. oneindig verre vlak voor, dan noemt men de centrale collineatie een affiniteit of affine afbeelding; dit betekent, dat evenwijdige lijnen en evenwijdige vlakken in daarmee soortgelijke elementen overgaan, niet-evenwijdige elementen steeds weer in niet-evenwijdige elementen.
Als men in het vlak op twee wijzen grondpuntenviertallen kiest en een punt met coördinaten (x) ten opzichte van het ene viertal toevoegt aan het punt met dezelfde coördinaten ten opzichte van het andere viertal, dan noemt men de betrekking een vlakke collineatie. De collineaties van het vlak vormen te zamen de zgn. (vlakke) projectieve groep. De algemene vlakke collineatie heeft drie dekpunten en dus drie dekrechten. Ook hier vormen de centrale collineaties een ondergroep van de projectieve groep; alle punten van één rechte (de collineatie-as) benevens een afzonderlijk punt (collineatie-centrum) zijn onveranderlijk.
DR F. LOONSTRA
Lit.: Uitvoerige beh. in: J.A. Barrau, Analytische Meetkunde, 2 dln (Groningen 1948).
