noemt men in de wiskunde een afbeelding van een verzameling op zichzelf, als daarbij bepaalde in de verzameling gedefinieerde relaties behouden blijven. Beschouwt men bijv. de verzameling van alle bewegingen van een plat vlak in zichzelf (deze verzameling is een zgn. groep, en wel een transformatiegroep), dan wordt een automorfe afbeelding van deze verzameling (een automorfie of automorfisme zgn.) verkregen, doordat men iedere evenwijdige verschuiving (translatie) op zichzelf afbeeldt, en een draaiing (rotatie) om een punt P over een hoek α op een even grote draaiing (in dezelfde zin) om het punt P', dat verkregen wordt door P in een bepaalde richting over een bepaalde afstand (beide voor alle punten P dezelfde) te verschuiven.
Een belangrijk hoofdstuk uit de complexe functietheorie is de theorie der automorfe functies. Het eenvoudigste voorbeeld van een automorfe functie is een periodieke functie. Deze blijft onveranderd (invariant) als het argument (de onafhankelijk veranderlijke) met een constant getal p (de periode) vermeerderd (of verminderd) wordt: ƒ (x + p) = f (x) voor iedere waarde van x. Bijv. is sin x periodiek met de periode 2 𝝅 (uitgedrukt in radialen, 2 𝝅 = 360°), daar sin (x + 2 𝝅) — sin x is; tg 3x periodiek met de periode ⅓ 𝝅 (= 60°), daar tg 3 (x + ⅓ 𝝅) = tg (x + 𝝅) = tg x is. Bij functies van een complexe veranderlijke z kan het voorkomen, dat zij twee onafhankelijke perioden bezitten, d.w.z. dat er twee complexe getallen ω1 en ω2 zijn die zich niet als reële getallen verhouden, en waarvoor ƒ (z + ω1) = ƒ (z + ω2) = ƒ (z) is voor ieder complex getal z. Dit zijn de dus gezegde dubbel periodieke functies, waartoe in het bijzonder de elliptische functies behoren. Beeldt men de complexe getallen af op de punten van een plat vlak (z getallenvlak), en verdeelt men dit vlak in een net van congruente parallelogrammen, waarvan de zijden in grootte en richting met de complexe getallen ω1 en ω2 overeenkomen, dan zal de functie gelijke waarden aannemen in alle punten (bijv. P1, P2, P3, enz.) die dezelfde ligging ten opzichte van hun respectieve Parallelogrammen hebben. Men kan zulk een parallelogram nog in kleinere delen verdelen, bijv. de kwartparallelogrammen, fundamentaalgebieden genaamd, waarin de functie elke complexe waarde precies éénmaal aanneemt. Bijv. kan de functiewaarde in P' gelijk zijn aan die in P1 terwijl zij in Q’ en Q’’ bijv. de toegevoegd complexe daarvan is.
Generaliserend vervangt men de vermeerdering der onafhankelijk veranderlijke z niet ω, dus de transformatie z' = z + ω door een willekeurige lineaire transformatie. Men kiest nu een eindig aantal van zulke lineaire transformaties, en noemt een functie automorf ten opzichte daarvan, als zij bij deze transformatie invariant is. Zij is dan ook invariant ten opzichte van de transformaties die uit de gegevene door omkering of/en samenstelling ontstaan, d.w.z. ten opzichte van de daardoor voortgebrachte transformatiegroep.
Een fundamentaalgebied wordt in een aantal gevallen verkregen als een door rechte lijnsegmenten of cirkelbogen begrensde driehoek. Spiegelt men deze t.o.v. de drie zijden, dan gaat een willekeurig punt P over in Q1 resp. Q2 resp. Q,3. Spiegelt men deze 3 driehoeken t.o.v. de nieuw verkregen zijden, dan gaan deze 3 punten over in P4, ...., P9, die op dezelfde wijze weer in Q,10, ...., Q,l8 overgaan, enz. Een automorfe functie zal nu dezelfde waarde aannemen in alle punten, die door een even aantal spiegelingen uit P ontstaan, hoe ook dit punt gekozen mag zijn.
Doordat men in de figuur ook een (door stippellijnen aangeduid) parallelogramnet zodanig kan aanbrengen, dat overeenkomstig gelegen punten dezer Parallelogrammen (bijv. P4, P6, P8, of ook Q1, Q14, Q16, Q18) uit elkaar ontstaan door een even aantal spiegelingen is de aldus verkregen functie dubbelperiodiek met bijv. □ C D E F als periodenparallelogram.
Terwijl men in de beschouwde gevallen door voortdurend toepassen der gegeven transformaties (i.c. spiegelingen en inversies) telkens weer nieuwe gebieden verkrijgt, waardoor men een indeling van het vlak in oneindig vele gebieden krijgt (waarvan natuurlijk telkens slechts een beperkt aantal getekend is), zijn er andere gevallen waarin dit niet het geval is. De gehele transformatiegroep is dan eindig, en het gehele vlak wordt in een eindig aantal gebieden verdeeld. Door daarop de transformaties toe te passen, krijgt men telkens weer dezelfde gebieden terug. Deze gevallen overziet men het gemakkelijkste door het getallenvlak stereografisch op een bol te projecteren. Men krijgt dan een indeling van de bol in een aantal congruente boldriehoeken en kan bewijzen dat deze steeds behoort bij een of twee der vijf regelmatige veelvlakken (tetraëder, hexaëder en octaëder, dodekaëder en ikosaëder, d.w.z. resp. 4-, 6-, 8-, 12- en 20-vlak) of bij een diëder, verkregen door een in de „aequator” beschreven regelmatige veelhoek met de beide „polen” te verbinden. Belangrijk is vooral de bij het dodekaëder en ikosaëder behorende indeling, daar deze ten nauwste samenhangt met de oplossing van algebraïsche vergelijkingen van de vijfde graad.
De 10 in het centrale punt samenkomende boldriehoeken vormen te zamen een regelmatige bolvijfhoek, nl. de projectie op de bol (uit het middelpunt) van een der regelmatige vijfhoeken die een in de bol beschreven regelmatig dodekaëder begrenzen. Er zijn 12 zulke bolvijfhoeken. De (sferische) middelpunten van telkens drie aan elkaar grenzende bolvijfhoeken zijn de hoekpunten van een regelmatige boldriehoek (opgebouwd uit 6 kleine boldriehoeken). Er zijn 20 van deze regelmatige boldriehoeken, nl. de projecties van de zijvlakken van een regelmatig ingeschreven ikosaëder. Het 12- en het 20-vlak (en evenzo het 6- en het 8-vlak) behoren op de volgende manier bij elkaar: laat men uit het middelpunt loodlijnen neer op de zijvlakken van het 12-vlak, dan snijden deze de bol in de hoekpunten van het 20-vlak, en omgekeerd.
De theorie der automorfe functies is voortgekomen uit onderzoekingen van B. Riemann en ten dele ook uit oudere resultaten van C. F. Gauss. Zij werd hoofdzakelijk in de jaren 1881-1882 door Henri Poincaré en Felix Klein (onafhankelijk van elkaar) opgebouwd.
PROF. DR D. VAN DANTZIG
Lit.: Ford, Introduction to the theory of automorphic functions, Edinburgh math, tracts no 6 (1915); F. Klein, Vorlesungen über das Ikosaeder (Leipzig 1894); R. Fricke en F. Klein, Vorlesungen über die Theorie der automorphen Funktionen (Bd 1, Leipzig, B. G. Teubner, 1897; Bd 2, Leipzig, id. 1900-1912).
