Engels wiskundige (?-i763), omtrent wiens leven wij vrijwel niets weten, was de eerste, die de waarschijnlijkheidsrekening* op de mogelijke oorzaken in plaats van op de mogelijke gevolgen van een waargenomen verschijnsel toepaste, en een daarop betrekking hebbend, naar hem genoemd, theorema opstelde. Zijn belangrijkste geschrift {An essay towards solving aproblem in the doctrine oj chances) werd na zijn dood door R.
Price gepubliceerd (1764). Hij behandelt daarin het volgende vraagstuk. Men laat een bal op een biljart rollen, waarvan we de lengte eenvoudigheidshalve tot eenheid van lengte kiezen. Deze komt op een afstand x van één der korte zijden tot rust. Een tweede bal laat men een groot aantal malen over het biljart rollen; deze komt k maal binnen en l maal buiten de rechthoek tot rust, die begrensd is door p en de genoemde korte zijde. Hoe groot is de waarschijnlijkheid, dat p tussen twee gegeven waarden a en c gelegen is? Bayes vindt daarvoor een waarde P, die in moderne notatie voorgesteld wordt door (Theorema van Bayes).
Deze uitspraak berust echter op een onderstelling, die Bayes ten onrechte voor een bewijsbare stelling aanzag, nl. dat de kans (= waarschijnlijkheid), dat de eerste bal in een strook van de breedte b (= c — a) terecht zal komen, altijd gelijk is aan b, onverschillig waar deze strook op het biljart gelegen is (Hypothese van Bayes). Of deze hypothese al dan niet veivuld is, hangt echter af van de gewoonten der spelers. Indien bijv. een speler de bal van een korte kant af wegstoot, en wel met zéér kleine snelheid, zal de kans dat hij bijv. in het eerste tiende deel van de lengte tot rust zal komen (a = o, c = b = -jy) zeer veel groter zijn dan de kans dat dit in het laatste tiende het geval zal zijn (a = c = 1, b = jlg-). Hoewel in beide gevallen b = is, zijn de kansen dan toch verschillend, in tegenspraak tot de hypothese van Bayes.Desondanks wordt het theorema van Bayes in zeer vele practische toepassingen van de waarschijnlijkheidsrekening gebruikt, waarbij men veelal verzuimt, na te gaan, of de hypothese van Bayes vervuld is. Daarbij treedt in de plaats van de lengte p doorgaans een andere waarschijnlijkheid, bijv. de kans dat een bepaald geneesmiddel tot genezing van de patiënt zal leiden. De hypothese van Bayes houdt dan in, dat alle waarden die de genezingskans kan aannemen als even waarschijnlijk beschouwd moeten worden, zolang men nog geen experimenten met het geneesmiddel heeft genomen (dat de waarschijnlijkheden a priori gelijk zijn). Indien men daarna het geneesmiddel k + l maal beproeft, en wel k maal mèt en l maal zonder succes, dan stelt P, volgens bovenstaande formule berekend, de waarschijnlijkheid (a posteriori) voor, dat aan de genezingskans op grond van deze experimenten (en uitsluitend daarvan) een waarde tussen a en c moet worden toegekend. In plaats van een genezingskans kan men voor p bijv. ook de sterftekans nemen bij toediening van een bepaalde dosis van een vergif (bijv. ter verdelging van schadelijke insecten, ratten e.d.), die bij experimenten k maal wel en / maal niet tot de dood van het proefdier geleid heeft. Een ander voorbeeld heeft men, als een trommel met bijv. 1000 gelijke loten gevuld is, waaronder een onbekend aantal, nl. 1000 p (p is een getal tussen o en 1) „prijzen” voorkomt.
Heeft men k + / maal een lootje getrokken (en telkens na trekking teruggelegd), en daarbij k maal een prijs en l maal een „niet” gevonden, dan zal het quotiënt der beide integralen wederom de kans P a posteriori, op grond der k + / trekkingen, voorstellen, dat p (de kans op een prijs) tussen a en c gelegen is, inlien althans de hypothese van Bayes vervuld is. Dit laatste echter zal afhangen van de wijze waarop de vulling van de trommel tot stand gekomen is. Vult men een groot aantal van dergelijke trommels, dan zal de hypothese vervuld zijn, als alle verhoudingen van de aantallen prijzen en nieten in de verschillende trommels even vaak voorkomen, en anders niet. Geschiedt de vulling der trommels bijv. doordat men een zeer groot aantal prijzen en nieten dooreenmengt en blindelings over de verschillende trommels verdeelt, dan zal de hypothese niet vervuld zijn. In hoeverre dit bij toepassingen van groter practisch belang het geval is, is doorgaans moeilijk te beoordelen. Pogingen, de algemene geldigheid der hypothese van Bayes te bewijzen, bijv. met behulp van het van Laplace* afkomstige doch reeds in de vorige eeuw o.a. door Fries gecritiseerde „indifferentieprincipe”* moeten echter als mislukt en niet voor verwezenlijking vatbaar beschouwd worden.
De ongerechtvaardigde toepassing van de regel van Bayes is o.a. door den Engelsen statisticus en biometricus R. A. Fis her uitvoerig gecritiseerd, die er zijn theorie der „Maximum likelihood” voor in de plaats stelde (1922). Later stelde Fisher een theorie van „fiducial inference” op, waarvan hij ten onrechte aannam, dat er het indifferentieprincipe in vermeden was. Bij de theorie der vertrouwensgrenzen van J. Neyman daarentegen is dit wèl gelukt.
PROF. DR D. VAN DANTZIG
