of kromme lijnen zijn meetkundige figuren, waarvan de nauwkeurige definitie enige toelichting vereist. Een definitie van „kromme” zal nl. slechts dan juist zijn, wanneer — in overeenstemming met het spraakgebruik — de cirkelomtrek, de rechte lijn, de lemniscaat onder de definitie vallen, doch wanneer oppervlakken of discrete puntverzamelingen buiten de definitie vallen.
Lit.: Ramaer, in: Nieuw Ned. Biogr. Wbk, VII (1927), 724.
Er is een poging geweest om een definitie van „kromme” door middel van het begrip „afbeelding” te geven: „krommen” zouden die figuren zijn, die „evenveel” punten bevatten als een lijnsegment, m.a.w. die eeneenduidige afbeeldingen van lijnsegmenten waren. De onvolledigheid van deze definitie blijkt reeds uit het feit, dat de puntenverzameling van een lijnsegment ook gelijkmachtig is met die van de oppervlakte van een bol en eveneens met de verzameling van alle irrationale punten en met het discontinuum van Cantor. Een andere definitie luidt: „krommen” zijn figuren, welke men continu kan doorlopen, d.w.z. continue beelden van een lijnsegment: hieronder vallen echter ook het vierkant en de kubus (welke niet onder het begrip „kromme” mogen vallen). Ook de definitie „topologische afbeelding van een lijnsegment” (d.w.z. een tegelijkertijd een eenduidige en continue afbeelding van het lijn segment) is te beperkt, daar bijv. de cirkel en de lemniscaat niet onder deze definitie vallen. Als bruikbare definitie van kromme geldt:
Een continuum K heet kromme, als elk punt van K in willekeurig kleine omgevingen is bevat, waarvan de begrenzingen met K discontinue doorsneden hebben; d.w.z. als voor elk punt p van K elke omgeving van p een omgeving van p als deelverzameling bevat, waarvan de begrenzing geen continuum met K gemeenschappelijk heeft. In de analytische en projectieve meetkunde maakt men onderscheid tussen vlakke krommen (dat zijn krommen, die in een plat vlak liggen) en ruimtekrommen (niet in een plat vlak gelegen). Wanneer men van een assenstelsel gebruik maakt, onderscheidt men algebraïsche en transcendente krommen, al naar gelang het karakter van de bijbehorende vergelijkingen.
De vlakke algebraïsche krommen worden in de eerste plaats onderscheiden naar hun graad. De verschillende eigenschappen der krommen worden gewoonlijk onderscheiden in metrische, projectieve en infinitésimale eigenschappen. Tot de eerstgenoemde behoren o.a. de eigenschappen der symmetrie . Van groot belang zijn de zgn. bijzondere of singuliere punten of raaklijnen, d.w.z. de punten of raaklijnen, die een zekere multipliciteit vertonen en dus als twee of meer samenvallende elementen kunnen worden beschouwd. Tot de projectieve eigenschappen behoren in de eerste plaats die der door de kromme bepaalde poolverwantschap en die der verschillende puntstelsels , die op de kromme kunnen worden aangenomen (z invariant en symbolische schrijfwijze). De infinitésimale eigenschappen (die ten dele een projectief, ten dele een metrisch karakter dragen) hebben betrekking op met de kromme in verband staande differentiaalvormen of integralen of op het kaïakter van de vergelijking der kromme, uit het oogpunt der functietheorie beschouwd (als: discontinuïteiten, niet-differentieerbaarheid enz.). Bij de transcendente krommen staan veelal de infinitésimale eigenschappen op de voorgrond.
Lit.: Johan de Witt, Elementa curvarum linearum (in het 2de dl van F. van Schooten, Ren. des Cartes Geometria, 1659); De l’Hôpital, Analyse des infiniment petits, pour l'intelligence des lignes courbes (Paris 1696) ; B. Nieuwentijt, Analysis infinitorum seu curvilinearum proprietates, etc. (Amsterdam 1695) ; G. Cramer, Introduction à l’analyse des lignes courbes algébriques (Genève 1750); L. Cremona, Einleitung in eine geometrische Theorie der ebenen Curven (1865); G. Loria, Spezielle algebraïsche und transzendente ebene Kurven (2 dln, 2de dr., Leipzig 1910); F. Enriques en O. Chisini, Courbes et fonctions algébriques (Paris 1926); S. Ganguli, The Theory of Plane Curves (Calcutta 1925); H. Wieleitner, Algebraïsche Kurven (2 dln, 1930); K. Menger, Kurventheorie (Berlin 1932); B. L. v. d. Waerden, Algebraïsche Geometrie (Berlin 1939) ; J.L. Coolidge, Algebraic Plane Curves (Oxford 1931) ; W. V. D. Hodge and D. Pedoe, Methods of Algebraic Geometry (Cambridge 1947); R. I. Walker, Algebraic Curves (Princeton 1950).
