noemt men een zeer belangrijke in de wiskunde en de wiskundige logica veel gebruikte methode om bepaalde (al dan niet aan de ervaring ontleende) begrippen te analyseren. Men tracht daartoe een aantal eigenschappen te vinden, waarvan men vermoedt, dat zij voor het bedoelde begrip kenmerkend zijn.
Men onderzoekt dan vooreerst, of deze eigenschappen geen logische tegenstrijdigheid insluiten („contradictieloos” zijn). Vervolgens definieert men een nieuw begrip door te eisen, dat dit de kenmerkende eigenschappen, thans „axioma’s” genaamd, zal bezitten, voorlopig in het midden latend of het al dan niet met het oorspronkelijk bedoelde overeenstemt. Van dit nieuwe begrip worden door strikt logische redenering verdere eigenschappen gezocht, en men gaat na, 1. of deze ook alle aan het oorspronkelijk bedoelde begrip toekomen, en zo ja,
2. of men zo alle bekende eigenschappen van het bedoelde begrip kan krijgen.
Is de eerste voorwaarde niet vervuld, dan bevat het axiomastelsel eigenschappen die aan het bedoeld begrip niet of niet algemeen toekomen (voorondersteld natuurlijk, dat de logische redenering correct is); men zal dan een of meer der axioma’s weglaten of door minder veeleisende vervangen. Is de tweede voorwaarde niet vervuld, dan is het axiomastelsel (met betrekking tot het bedoelde begrip) onvolledig. Men zal dan verdere axioma’s toevoegen, totdat men een volledig axiomastelsel verkregen heeft. Bij voorkeur kiest men dit zo, dat de axioma’s onafhankelijk (z afhankelijk) zijn, d.w.z. dat het stelsel onvolledig wordt zodra men één axioma weglaat, en contradictieloos blijft, zo men het door zijn ontkenning vervangt.
Bekende voorbeelden van toepassingen der axiomatische methode (axiomatiseringen) zijn: de axiomatisering van het begrip „vast lichaam” (lichaam of figuren van onveranderlijke gedaante en afmetingen) in de meetkunde van Euklides, later gepreciseerd en verbeterd o.a. door M. Pasch, D. Hilbert en B. L. van der Waerden (z axiomatika en axiomatische meetkunde); de axiomatisering van het afstands-begrip (z afstand) door M. Fréchet en F. Hausdorff; van het omgevings-begrip (z topologie) door dezelfden; van het gelijkheids- of aequivalentie-begrip (z aequivalentie); van de optelling en vermenigvuldigings-bewerkingen der algebra (z algebra, grondeigenschappen) in de zgn. abstracte algebra door Emmy Noether; van de intuïtionistische wiskunde door A.
Heyting; van de thermodynamika door C. Carathéodory; van de relativiteitstheorie door H. Reichenbach, van de waarschijnlijkheidsrekening door H. Reichenbach en A. Kolmogoroff, enz. Ook in de logica (evenals in andere wetenschappen) heeft men door axiomatisering in vele opzichten (o.a. ook ten aanzien van het waarheidsbegrip) begripsverheldering bereikt.
PROF. DR D. VAN DANTZIG.
