of axiomatiek noemt men in de wiskunde en de wiskundige logica het onderzoek naar de fundamentele onderstellingen die aan een gebied van wetenschap ten grondslag liggen, voor zoverre dit met formeel-logische middelen kan geschieden.
Euklides heeft de meetkunde opgebouwd volgens de zgn. axiomatische methode, d.w.z. door uit te gaan van een stelsel axioma's en definities, en daaruit met behulp van de logica de meetkundige stellingen (proposities) af te leiden. Deze axiomatische opbouw is tot onze tijd in hoofdtrekken ongewijzigd in gebruik gebleven, al zijn (o.a. door M. Pasch en D. Hilbert) wel enige hiaten aangevuld en andere partiële wijzigingen aangebracht. (Een iets andere opbouw is door B. L. van der Waerden gegeven). Wel echter hebben de betekenis die men aan de term „axioma” toekende, en in verband daarmede de strekking en draagwijdte van de axiomatische methode in de loop der tijden een belangrijke wijziging ondergaan.
Oorspronkelijk werden de stellingen en axioma’s der meetkunde beschouwd als volkomen exacte en onbeperkt geldige („ware”) uitspraken, niet omtrent waarneembare objecten (bijv. getekende figuren), maar omtrent denkbeeldige objecten (punten zonder afmeting, volkomen rechte lijnen zonder breedte, e.d.), die men als „idealiseringen” van de waarneembare figuren beschouwde. Ten gevolge van de onbeperkte geldigheid kon men dan door toepassing van logische redenering sommige stellingen uit andere afleiden (z bewijs). Als uitgangspunt van de redenering moest men dan uitspraken kiezen, de axioma’s, die zelf niet afleidbaar waren, maar welker onbeperkte geldigheid als onmiddellijk „evident” (z evidentie) werd beschouwd. D.w.z. men achtte de mogelijkheid, dat zij „onwaar” zouden zijn, ondenkbaar.
Daar het zgn. parallellenaxioma of vijfde postulaat van Euklides niet als onmiddellijk evident werd beschouwd, werd lange tijd getracht, dit uit de andere axioma’s af te leiden. In 1829 en 1832 werd evenwel door Nikolaj Lobatschewskij en Johann Bolyai aangetoond, dat dit niet mogelijk is, en dat géén logische tegenstrijdigheid ontstaat, indien het parallellenaxioma door zijn ontkenning vervangen wordt (z niet-Euklidische meetkunde). Dientengevolge moest men er toe overgaan, de eis tot evidentie der axioma’s te laten vallen, daar deze niet vervuld bleek te zijn. Ook wanneer men een of meer der andere axioma’s door hun ontkenning vervangt, ontstaat niet noodzakelijk een tegenstrijdigheid met de mogelijkheden van menselijk denken. Door nu eens het ene, dan weer het andere axioma te wijzigen, ontstaan verschillende „meetkunden”, bijv. niet-Euklidische, niet-Desarguische, niet-Pascalse meetkunde, enz.
Euklides trachtte de door hem ingevoerde begrippen vooraf te definiëren (bijv.: „Punt” is wat geen delen heeft) en vervolgens de axioma’s te formuleren als evidente uitspraken omtrent door de definities als vastgelegd beschouwde begrippen. Men heeft echter opgemerkt dat deze definities (in tegenstelling tot de definities van begrippen die in de verdere delen van de opbouw gebruikt worden, zoals parallelogram, cirkel, enz.) in de bewijzen in het geheel niet gebruikt worden. In verband daarmede wordt zulk een voorafgaande omschrijving van de grondbegrippen (punt, lijn, vlak, enz.) tegenwoordig, nl. sinds Hilbert, overbodig geacht; men beschouwt deze begrippen als volledig vastgelegd door het axiomastelsel zelf, althans met betrekking tot alle eigenschappen die later bij de opbouw gebruikt worden. Het begrip „axioma” is daardoor gerelativeerd: in plaats van een evidente en niet te betwijfelen eigenschap is het een definiërende eigenschap van een wiskundig systeem geworden; verandert men de axioma’s, dan krijgt men (mits zij contradictieloos blijven) eenvoudig een ander wiskundig systeem, dat niet minder recht van bestaan heeft dan het oorspronkelijke, en dat soms toelaat te voorspellen, hoe de oorspronkelijke objecten zich zullen gedragen onder omstandigheden die van de tot dan onderzochte afwijken. Hiermede hangt het in de aanvang genoemde andere inzicht omtrent strekking en draagwijdte van dergelijke wiskundige systemen samen. Sommige der aldus verkregen „vrij-axiomatische” systemen hebben later belangrijke toepassingen gevonden, bijv. de Meetkunde van Riemann in de relativiteitstheorie en de niet-commutatieve algebra in de mechanica der quanta.
PROF. DR D. VAN DANTZIG
Lit.: D. Hilbert, Grundlagen der Geometrie (Leipzig 1899, 7de dr. 1930); B. L. van der Waerden, De logische grondslagen der Euklidische meetkunde (Groningen 1937); A. N. Whitehead, The axioms of projective geometry (Cambridge, Univ. Press); The axioms of descriptive geometry (Cambridge, Univ.
Press); A. Heyting, Intuïtionistische axiomatiek der projectieve meetkunde (Groningen 1928); O. Veblen and J. H. C. Whitehead, The foundations of differential geometry (Cambridge, Univ.
Press); H. Reichenbach, Axiomatik der Relativitätstheorie.
