Winkler Prins Encyclopedie

E. de Bruyne, G.B.J. Hiltermann en H.R. Hoetink (1947)

Gepubliceerd op 17-06-2022

Afhankelijk

betekenis & definitie

Wanneer in de wiskunde of wiskundige logika, de eigenschappen van een object volledig door de eigenschappen van enige andere objecten bepaald zijn, wordt het eerstgenoemde object afhankelijk van de laatstgenoemde genoemd. Is van een stelsel objecten minstens één (welk dan ook) afhankelijk van alle andere die tot het stelsel behoren, dan wordt het stelsel onderling afhankelijk genoemd.

Zo niet, dan heten de objecten onderling onafhankelijk.Buiten de wiskunde wordt vaak een object van een of meer andere objecten afhankelijk genoemd, wanneer deze laatstgenoemde objecten te zomen met een aantal ongenoemde of zelfs onbekende objecten de eigenschappen van het eerstgenoemde object bepalen. In die zin zegt men bijv., dat de grootte yaii de graanoogst afhankelijk van het weer is, of dat het weer te zamen met o.a. economische of politieke omstandigheden de grootte van de graanoogst bepaalt. Teneinde misverstanden te vermijden verdient het aanbeveling, in dit geval de term mede-afhankelijk of partieel afhankelijk te gebruiken.

Onder de wiskundige toepassingen van het afhankelijkheidsbegrip is vooral het geval van belang, waarbij een begrip door een aantal definiërende eigenschappen („kenmerken”, „reagentia” of axioma’s) wordt vastgelegd. Men onderzoekt dan of één dezer eigenschappen van de andere afhankelijk is, doordat het er uit kan worden afgeleid. Is dit het geval, dan kan dit ene axioma weggelaten worden (z axiomatika). Wanneer men bijv. onder de definiërende eigenschappen van een hond zou opnemen dat deze i. een vertebraat, 2. een zoogdier is, dan ware de eerste eigenschap \an de tweede afhankelijk, daar ieder zoogdier tot de gewervelde dieren behoort.

Ook in de theorie der functies en vergelij kingen wordt het afhankelijkheidsbegrip veelvuldig gebruikt. Zo heet bijv. de vergelijking x + z = 3 van de beide vergelijkingen x + y = i en y — z + 2 = o afhankelijk, omdat iedere oplossing van het laatstgenoemde tweetal ook aan de eerstgenoemde vergelijking voldoet. Dienovereenkomstig heten ook de functies die uit deze vergelijkingen als linkerleden ontstaan door ze op nul te herleiden, dus x + z — 3, x -j- j — 1 en y — z + 2 onderling afhankelijk. En wel zijn ze lineair afhankelijk, omdat een hunner als een lineaire functie (functie van de eerste graad) der beide andere geschreven kan worden. (Bijv. is de eerste functie het verschil van de tweede en de derde).

In de algebra wordt bewezen, dat een stelsel vergelijkingen van de eerste graad met evenveel onbekenden dan en slechts dan (z voorwaarde) lineair afhankelijk is, als hun determinant nul is. In de differentiaalrekening wordt bewezen, dat een stelsel differentieerbare functies dan en slechts dan afhankelijk is, als hun functionaaldeterminant nul is.

PROF. DR D. VAN DANTZIG