of benadering betekent in de wiskunde een resultaat ener berekening of constructie, dat niet precies aan de gestelde eisen voldoet, maar daarvan een weinig afwijkt. Naarmate deze afwijking kleiner is noemt men de benadering beter of nauwkeuriger; is zij in vergelijking tot de behoeften nog vrij groot, dan spreekt men van een ruwe benadering.
Zo zijn bijv. de getallen, opgegeven in logarithmische, trigonometrische en de meeste andere tafels niet volkomen nauwkeurig. Men kan betere approximaties verkrijgen door ze in een groter aantal decimalen te berekenen. Bijv. wordt in een logarithmentafel in vijf decimalen voor log 3 opgegeven: 0,47712. Een nauwkeuriger benadering is 0,47712 12543. Daarentegen is de voor log 2 opgegeven waarde 0,30103 ongeveer 0,00000 00043 te groot, zodat een nauwkeuriger approximatie is: 0,30102 99957. Als teken van approximatieve gelijkheid wordt vaak ≈ gebruikt (bijv. log 2 ≈ 0,30103), al heeft dit het bezwaar, dat hierdoor geen grens voor de toegestane afwijking aangeduid wordt.
Daarbij bedenke men, dat de getallen afgerond zijn: is de volgende decimaal 0, 1, 2, 3 of 4, zo wordt zij weggelaten; is deze 5, 6, 7, 8, 9, zo wordt de laatste decimaal met één verhoogd, voor zoverre de 5 betreft echter met het voorbehoud, dat deze zelf niet door afronding naar boven ontstaan mag zijn. Om aan te geven, dat een decimaal door afronding naar boven ontstaan is wordt wel eens een klein min-teken rechts boven toegevoegd, dus b.v. log 2 = 0,30103—. Tegenwoordig zijn ook wel ingewikkelder systemen in gebruik om nog iets over de eerste weggelaten decimaal aan te duiden. Bijv. geen aanduiding als deze 9, 0 of 1 is, een +-tekentje als deze 2, 3 of 4 is, een - -tekentje als deze 6, 7 of 8 is, en een kleine 5 als deze een — al dan niet door afronding ontstane — 5 is. In dit systeem schrijft men dus voor log 3 = = 0,47712 12543 al naar het aantal gebruikte decimalen: 0,5—, 0,48—, 0,477, 0,47712, 0,47712 125, 0,47712 125+, enz. In een goede tafel behoort de laatste decimaal (met in aanmerking nemen van de afrondingsregels!) correct te zijn.
Natuurlijk kan de afwijking in bijzondere gevallen wel eens veel kleiner zijn dan de toegelatene, bijv. van een halve eenheid van de laatste opgeschreven decimaal. Zo is bijv. bij de waarde 0,30103 een afwijking van 0,000005 toegestaan, terwijl het verschil in werkelijkheid minder dan 0,00000 0005 bedraagt.Van belang is het onderscheid tussen afzonderlijke approximaties en approximatiemethoden. Bij de eerste kan de afwijking in het algemeen niet naar willekeur verkleind worden zonder tot een geheel andere methode over te gaan; bij de laatste echter stelt éénzelfde methode ons in staat het gevraagde resultaat te benaderen met een willekeurig kleine vooraf voorgeschreven bovengrens voor de afwijking, mits deze groter dan nul is (d.w.z. „benadering” met afwijking o, dus precieze overeenstemming kan bij een approximatiemethode niet verlangd worden, wel benadering op een millioenste, of een billioenste of welke positieve grootheid dan ook, na).
In de meetkunde worden approximaties gebruikt voor het oplossen van die problemen, die geen exacte oplossingen toelaten (bijv. quadratuur van de cirkel, trisectie van de hoek, enz.). Weliswaar is geen enkele werkelijk uitgevoerde constructie geheel exact, maar een constructie wordt geacht exact te zijn, wanneer de nauwkeurigheid der constructie niet aan een grens gebonden is, die door de wiskundige eigenschappen der figuur bepaald is. Leonardo da Vinci (1452-1519) heeft o.a. constructies voor de zijde van een in een cirkel beschreven regelmatige 7- of 9-hoek gegeven, die in deze zin niet exact zijn. Berekening leert bijv. dat de middelpuntshoek, behorende bij Leonardo’s 9-hoek ruim 40° 12' in plaats van 360° : 9 = 40°, dus ruim ½ pct te groot is. Ondanks nog zo precieze uitvoering van de constructie kan men dus toch geen grotere nauwkeurigheid dan ½ pct van de juiste lengte bereiken. Leonardo schijnt zich van het verschil tussen exacte en approximatieve constructies niet bewust geweest te zijn, in tegenstelling tot zijn vakgenoot Albrecht Dürer (1471-1528).
In Nederland heeft vooral S. C. van Veen voorbeelden van dergelijke geometrische approximaties gegeven (o.a. in jaargang 4, 7 en 8 van het tijdschrift Mathematica).
Ook in de getallenleer zijn approximaties van groot belang. Het aantal ondeelbare getallen dat hoogstens gelijk is aan een gegeven natuurlijk getal n wordt gewoonlijk door 𝝅 (n) voorgesteld. Voor niet te grote n kan men dit exact berekenen. Bijv. is 𝝅(13) =6, daar 2, 3, 5, 7, 11, 13 ondeelbaar en ≦1 13 zijn. Echter is geen exacte formule bekend, die n (n) voor iedere n in eenvoudiger functies uitdrukt. Wel is een approximatie voor 𝝅(n) bekend, nl. n/ln n waarin ln n de natuurlijke logarithme van n voorstelt.
Deze approximatie is des te nauwkeuriger naarmate n groter is. (Een iets nauwkeuriger approximatie wordt door de zgn. integraallogarithme van n gegeven). Karakteristiek voor dit soort problemen is, dat de approximerende grootheid geen geheel getal behoeft te zijn. Een enkele keer gelukt het, met behulp van een approximatie een exact resultaat te verkrijgen. Zo hebben bijv. in 1917 G. N. Hardy en S.
Ramanujan een approximatie afgeleid voor het aantal verschillende manieren, waarop een gegeven getal (bijv. 200) als som van natuurlijke getallen geschreven kan worden. Hoewel de uitkomst een geheel getal moet zijn, wordt hun benadering met een aantal decimalen achter de komma gegeven. Voor het getal 200 vinden zij bijv. 3 972 999 029 388 met een fout van hoogstens 0,004, zodat hun approximatie tevens de exacte waarde levert. Ook bij de approximatie van algebraïsche door rationale getallen (z algebra), in de theorie der Diophantische approximaties en in de leer der kettingbreuken worden sommige resultaten op deze wijze verkregen. In Nederland hebben vooral J. G. van der Corput en J.
F. Koksma zich met dergelijke problemen beziggehouden.
Hoewel de in de analyse veelvuldig optredende asymptotische ontwikkelingen het karakter van approximaties hebben, kunnen zij beter afzonderlijk besproken worden.
In de toegepaste wiskunde worden approximaties zeer veelvuldig toegepast, omdat exacte oplossingen daar
1. veelal niet of alleen met zeer grote moeite te bereiken
en
2. niet nodig zijn, daar de waarnemingsresultaten toch geen exacte betekenis hebben.
De methoden, die hierbij het vaakst worden toegepast, zijn: A, de hierna te bespreken approximatiemethoden, echter met dien verstande, dat de approximatie na een klein aantal stappen niet verder wordt voortgezet; B, speciale methoden als de methode der kleinste quadraten, de regressie-analyse en de Fourier- of periodogram-analyse. Met behulp van deze en dergelijke methoden meende men vroeger, de „ware waarde(n)” der empirische grootheden, zoal niet exact te kunnen berekenen, dan toch meer of minder nauwkeurig te kunnen benaderen. Tegenwoordig worden zij echter met meer voorzichtigheid toegepast, daar men er zich (zij het nog niet altijd) rekenschap van gegeven heeft, dat zulk een „ware waarde” in den regel in het geheel niet gedefinieerd is.
PROF. DR D. VAN DANTZIG.
