noemt men in het algemeen hetgeen met behulp van de algebra wordt verkregen. Om het begrip „algebraïsch” een preciezere, zij het daardoor beperktere zin te geven gaat men doorgaans uit van een lichaam (z getallenlichamen), dat is een stelsel van getallen (of objecten van algemenere aard, bijv. functies), dat ten aanzien der eerste vier hoofcjbewerkingen, de zgn. rationale bewerkingen, t.w. optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen afgesloten (z afsluiten) is, d.w.z. dat elk dezer bewerkingen (met uitzondering van deling door nul) op elk tweetal getallen van het lichaam kan worden toegepast, en tot resultaat weer een tot het lichaam behorend getal geeft. (Voorbeeld: alle rationale getallen, alle reële getallen, alle complexe getallen).
De vijfde hoofdbewerking, de machtsverheffing, is dan ook steeds in het lichaam uitvoerbaar, mits de exponent een natuurlijk getal is. Algebraïsch ten opzichte van zulk een lichaam noemt men nu een getal, dat verkregen kan worden door op een getal van het lichaam de vijfde hoofdbewerking in ruimere zin toe te passen. In engere zin is de vijfde hoofdbewerking het vormen („trekken”) van een nde wortel uit een getal p van het lichaam, waarbij n een natuurlijk getal is. Noemt men zulk een nde wortel x, dan voldoet deze aan de vergelijking xn =p of xn —p = o. Deze bewerking wordt nu gegeneraliseerd (z generalisatie) tot de vijfde hoofdbewerking in ruimere zin, door getallen x te vormen, die aan een algebraïsche (of hogere machts) vergelijking van de nde graad, d.i. een vergelijking van de gedaante: xn + a1 xn-l + a2xn-2 + ... + an-1 x + an = o voldoen, waarbij a1; . . . , an n gegeven getallen van het lichaam zijn. Het linkerlid van zulk een vergelijking heet veelterm, polynomium of gehele rationale functie in x van de nde graad. De vergelijking xn —p — o is hierin als bijzonder geval begrepen; zij wordt verkregen door an =—p, at = a2 = ... = an-1 = o te nemen. Elke vergelijking, die niet met een algebraïsche gelijkwaardig is, heet transcendent.Algebraïsche getallen
(in engere zin) noemt men getallen, die op bovenvermelde wij ze verkregen kunnen worden door een veelterm in nul te stellen, wanneer men uitgaat van het lichaam der rationale getallen (positieve of negatieve gebroken getallen en nul). Alle andere getallen heten transcendent (bijv. e, n, log 2). Tot de algebraïsche getallen behoren vooreerst de wortels uit natuurlijke getallen en de imaginaire eenheid i, en sommen, verschillen, producten en . . quotiënten van dezulken en voorts wortels uit dergelijke uitdrukkingen. Het is echter voor een algebraïsch getal een bijzonderheid, wanneer het met behulp van wortelvormen in rationale getallen kan worden uitgedrukt, zoals door Niels Henrik Abel is bewezen.
Wanneer men de wortels uit alle priemgetallen (d.z. ondeelbare getallen, dus 2, 3, 5, 7, 11, 13, enz.) berekend heeft, kan men met behulp van rationale getallen iedere wortel uit elk positief rationaal getal vinden.
Het kernprobleem van de leer der algebraïsche getallen bestaat nu daarin, een stelsel van zo weinig mogelijk algebraïsche getallen te vinden, waarin alle andere algebraïsche getallen door rationale bewerkingen kunnen worden uitgedrukt. Van de oplossing van dit probleem, althans in een praktisch bruikbare vorm (d.w.z. zó, dat men daardoor een overzicht krijgt van de wijze, waarop de andere algebraïsche getallen uit deze relatief weinige zijn opgebouwd), is men zelfs voor vrij eenvoudige typen van algebraïsche getallen nog ver verwijderd. Belangrijke bijdragen tot dit probleem zijn door vrijwel alle beoefenaren der algebra in de 19de en 20ste eeuw gegeven. We noemen in het bijzonder: de theorie der getallenlichamen en substitutiegroepen van Evariste Galois, de ideale getallen van Kummer, de onderzoekingen van Lejeune Dirichlet en Dedekind en de werken van Hilbert en Emmy Noether.
Algebraïsche functies.
Een functie van één of meer onafhankelijk variabelen heet rationaal als zij uit deze variabelen en gegeven getallen met behulp van de rationale bewerkingen verkregen kan worden. Men kan zulk een functie ook bepalen door een polynomium in X en de in f1 ... ,fn optredende variabelen nul te stellen.
De studie der algebraïsche functies van één complexe variabele is een belangrijk hoofdstuk uit de functietheorie, waar in het bijzonder de integralen van zulke functies (integralen van Abel; indien n = 2 is elliptische en hyperelliptische integralen) worden bestudeerd. De studie der algebraïsche functies en hun integralen is vooral door de invoering der oppervlakken van Riemann in hoge mate bevorderd.
Algebraïsche vlakke krommen
noemt men in de Analytische meetkunde krommen, die verkregen worden door een veelterm in twee variabelen nul te stellen, waarbij deze variabelen als Cartesische coördinaten geïnterpreteerd worden. Elk der variabelen is dan een algebraïsche functie van de andere. Alle andere vlakke krommen heten transcendent. Door één veelterm in drie variabelen nul te stellen, krijgt men een algebraïsch oppervlak; door twee zulke veeltermen nul te stellen, een algebraïsche ruimtekromme.
Algebraïsche meetkunde
is het gedeelte der wiskunde, dat zich onder toepassing van methoden en resultaten der algebra bezig houdt met de bestudering van meetkundige figuren, welke zijn vastgelegd door algebraïsche vergelijkingen in hun coördinaten (^analytische meetkunde). Zij behandelt o.a. de algebraïsche krommen en oppervlakken van de tweede en hogere graad, ook stelsels van dergelijke objecten; voorts hun bijzondere punten en lijnen, de figuren hunner raaklijnen en raakvlakken, en die, welke op andere wijzen worden afgeleid, zoals evoluten, evolventen, poolkrommen, pooloppervlakken enz. Een belangrijke rol spelen hierbij de invariantentheorie en de meetkunde van het aantal.
PROF. DR D. VAN DANTZIG
Lit.: B. L. van der Waerden, Einführung in die algebraïsche Geometrie (Berlin 1937).
