Om een verzameling R van elementen een „ruimte” te kunnen noemen, is het niet alleen noodzakelijk, dat men de elementen of „punten” van de verzameling R kent, maar er moeten nog zekere relaties tussen de punten onderling bestaan. Om deze gedachte nauwkeurig weer te geven, zullen we een „ruimte” gedefinieerd achten, als, behalve de verzameling R van de punten, bovendien nog een voorschrift (of operatie) bestaat, dat aan elke deelverzameling M van R een verzameling M̄ van R, het zgn. gesloten omhulsel van M, toevoegt.
Het geheel van de verzameling R met het genoemde voorschrift (zgn. topologische toevoeging) heet een algemeen topologische ruimte, eveneens aangeduid door R.Heeft men van een ruimte de elementen gedefinieerd, dan wordt de topologische toevoeging gewoonlijk gedefinieerd door middel van de definitie van een van de volgende begrippen: convergentie, metriek, omgevingen. Een ruimte heet convergentie-ruimte (ingevoerd door M. Fréchet, 1906), wanneer men zekere aftelbare rijen van elementen uit R convergent verklaart en aan elk van hen een eenduidig bepaald punt als limiet van de rij toevoegt. Een ruimte heet metrische ruimte, wanneer voor elk paar punten van R een niet-negatief reëel getal d(a, b), de afstand van a en b, is gedefinieerd, dat aan de volgende eisen voldoet:
1. d(a, b) = 0, alléén als a en b samenvallen;
2. d(a, b) = d(b, a);
3. voor elk drietal a, b, c geldt de zgn. driehoeks-ongelijkheid d(a, b) + d(b, c) ≧ d(a, c).
Het begrip en de axioma’s van metrische ruimte zijn afkomstig van Fréchet (1906), de naam van Hausdorff (1914).
Elke metrische ruimte is een convergentieruimte. Een ruimte heet omgevingsruimte, wanneer in R zekere deelverzamelingen als de omgevingen van de punten van R worden gedefinieerd; men eist slechts, dat elk punt van R ten minste één omgeving bezit. Onder de n-dimensionale Euclidische ruimte Rn verstaan we de metrische ruimte, waarin een punt wordt voorgesteld door een n-tal reële getallen x = (x1 , x2 , x3 ,...., xn), terwijl de afstand van twee punten x en y is:
d (x, y) = √nΣi=1(xi−yi)2.
De ruimte van Hilbert is een oneindig-dimensionale generalisatie van de Euclidische ruimtes. Zijn punten zijn oneindige rijen van reële getallen: p = (t1 , t2 , ...), die alleen aan de eis moeten voldoen, dat de reeks Σ t2n convergeert; als afstand van p en q = (s1 , s2 , ...) definieert men d (p, q) = √Σ (tn − sn)2.
Door verdere eisen te stellen aan de topologische toevoeging krijgt men ruimtes, waarvan de zgn. topologische ruimtes een zeer belangrijke rol spelen: de topologische toevoeging voldoet aan de bijzondere eisen:
1. M + N = M̅ + N̅
2. M ⊆ M̅ ;
3. M̿ = M̅ ;
4. O̅ = O.
Voor verdere details zij verwezen naar topologie.
PROF. DR F. LOONSTRA
Lit.: P. Alexandroff, H. Hopf, Topologie (Berlin 1935); S. Lefschetz, Intr. to Topology (Princeton 1949); A. Appert, Propriétés des espaces abstraits, 2 dln (Paris 1934); M. Fréchet, Les espaces abstraits (Paris 1928); F.
Hausdorff, Grundzüge der Mengenlehre (Berlin 1927); C. Kuratowski, Topologie, 2 dln (Warszáwa 1948-’50).
