zijn reële getallen die niet rationaal zijn, m.a.w.: een irrationeel getal is niet te schrijven als het quotiënt van twee gehele getallen. Men kan bewijzen, dat bijv. l/a, waarin a een natuurlijk getal voorstelt, dat geen kwadraat van een geheel getal is, een irrationeel getal is.
Evenzo zijn bijv. de getallen n, e, log 2 irrationele getallen. Men kan de irrationele getallen verdelen in algebraïsche en transcendente irrationele getallen. Algebraïsch heet een irrationeel getal, wanneer het een wortel is van een hogeremachtsvergelijking met rationele coëfficiënten, en transcendent heet het irrationele getal, wanneer het niet algebraïsch is; n, e, log 2 zijn bijv. transcendente getallen.Op de reële getallenrechte vormen de rationele getallen een aftelbare getallenverzameling, de irrationele getallen daarentegen vormen een getallenverzameling, die de machtigheid van het continuüm bezit.
De invoering van de irrationele getallen geschiedt door overgang van het lichaam van de rationele getallen op het lichaam van de reële getallen. Dit kan (volgens Dedekind) als volgt geschieden: onder een „snede” verstaat men een indeling van alle rationele getallen in twee niet lege klassen A en B, zodat elk getal van A kleiner is dan elk getal van B. Nu zijn er drie soorten sneden mogelijk:
1. A heeft een grootste getal, B heeft geen kleinste getal;
2. A heeft geen grootste getal, B heeft een kleinste getal;
3. A heeft geen grootste en B heeft geen kleinste getal. Men kan nu voor de sneden bewerkingen definiëren en men kan bewijzen, dat de sneden een lichaam K bepalen, het lichaam K van de reële getallen, dat een deellichaam R bevat, dat isomorf is met dat van de rationele getallen. Men noemt de elementen van R ook weer rationele getallen, terwijl de elementen van K, die niet tot R behoren (dat zijn de sneden van de derde soort), irrationele getallen zijn.
PROF. DR F. LOONSTRA
Lit. O. Perron, Irrationalzahlen (Berlin 1939).
