(of leer der combinaties en permutaties) houdt zich bezig met het onderzoek naar het aantal mogelijke samenstellingen van meerdere gelijksoortige elementen zoals cijfers of letters. Iedere samenstelling van een n-tal elementen heet een combinatie.
Men onderscheidt combinaties, waarin elk der n elementen slechts éénmaal voorkomt en combinaties, waarin eenzelfde element meermalen mag optreden (combinaties met herhalingen),1. Permutaties (verwisselingen) van n elementen zijn de combinaties, waarin alle elementen slechts éénmaal voorkomen; de verschillende permutaties onderscheiden zich alleen door de rangschikking. Met n elementen zijn 1 X 2 x 3 X — (n — 1) x n = Pn permutaties mogelijk. Gewoonlijk wordt dit product n! geschreven en gelezen: n faculteit. Het aantal permutaties van n elementen is, wanneer a elementen gelijk zijn, verder b andere elementen gelijk zijn, verder c andere elementen gelijk zijn, enz.
2. Variaties zonder herhaling onderscheiden zich van de permutaties daardoor dat in iedere combinatie slechts een bepaald aantal m der n elementen voorkomt; door het aantal m wordt de klasse der variaties bepaald. Al naar gelang de afzonderlijke elementen in elke variatie slechts eenmaal of meermalen optreden, onderscheidt men variaties zonder herhaling en variaties met herhaling. De variaties van de eerste klasse, die ieder slechts i element bevatten, heten unionen, die van de tweede klasse met 2 elementen amben of binionen, van de derde klasse temen, enz. Met m van de n elementen kunnen n (n—1) (n—2) x - — x (n—(m—1)} = Vm.n variaties van de mde klasse zonder herhaling gemaakt worden. Het aantal variaties met herhaling van n elementen van de kde klasse is nk. 3. Combinaties onderscheiden zich van de variaties, dat in combinaties de elementen slechts in de natuurlijke (oorspronkelijk gegeven) volgorde voorkomen. Zo zijn combinaties der derde klasse van de elementen 1, 2, 3, 4, 5 o.a. deze, 123, 134, 135, 234, 235, maar 231 behoort er niet toe, daar de elementen 2 en 1 niet in de natuurlijke volgorde voorkomen en een inversie vormen.
Verder heeft men nog variaties en combinaties met herhalingen, waarin ieder element meermalen kan voorkomen. Voor de laatste geldt de eenvoudige betrekking Cmn = Cmn +m_1, waarin Cmn het aantal combinaties met herhalingen der mde klasse uit n elementen voorstelt.
Op de combinatieleer berust het binomium, de theorie der determinanten, die der substitutiegroepen en de waarschijnlijkheidsrekening. Tot haar ontwikkeling hebben Pascal, Wallis, Leibniz, Newton, Euler, maar vooral Jacob Bernoulli veel bijgedragen.
Lit.: BI. Pascal, Traité du triangle arithmétique (1654); Leibniz, Dissertatio de arte combinatoria (1666); J. Bernoulli, Ars coniectandi (1713); E. Netto, Lehrbuch der Combinatorik (Leipzig 1901: 2de dr. 1927).
