is een in de wiskunde veelvuldig toegepast procédé, dat dient om het asymptotisch gedrag van functies te bepalen. Terwijl men, om een functie ƒ (x) voor kleine waarde van te kunnen bestuderen, deze doorgaans in een reeks van Taylor (reeks van Maclaurin) zal ontwikkelen, die naar opklimmende machten van x voortschrijdt, zal men voor het onderzoek van ƒ (x) bij grote waarden van x een reeksontwikkeling zoeken, die volgens machten van 1/x opklimt.
Het hinderlijke daarbij is evenwel, dat deze laatste reeks in talrijke belangrijke gevallen divergent is. Het is duidelijk, dat men in de astronomie, waar men bijv. het verloop van planetenbanen op de lange duur wenst te kennen, en in andere toepassingen der wiskunde aan zulk een asymptotische ontwikkeling, al is zij divergent, verre de voorkeur zal geven boven een reeks van Maclaurin, al is deze convergent. Dit is dan ook de reden, waarom divergente reeksen nadat zij in het begin van de 18de eeuw door Abel, Cauchy en Gauss uit de wiskunde verbannen waren, in 1892-’97 door Henri Poincaré in zijn Mécanique céleste weer werden ingevoerd.
Dat zulke reeksen ook mathematisch volledig exact behandeld kunnen worden, wordt duidelijk, wanneer men bedenkt, dat een reeksontwikkeling (evenals andere processen waarbij limieten voorkomen) een approximatiemethode is, waarvan men de graad van nauwkeurigheid zo hoog kan opvoeren als men wil, d.w.z. dat zij toestaat de gezochte uitkomst te benaderen behoudens een fout die men beneden een willekeurig vooraf voorgeschreven toelaatbaarheidsgrens kan dwingen. (Het woord „willekeurig” geeft het verschil aan tussen een wiskundige en een slechts practisch bruikbare approximatie). Dit nu kan bij de eerstgenoemde convergente reeks geschieden, als x gegeven is, door het aantal termen der reeks voldoende groot (in casu zéér groot!) te nemen. Bij de tweede reeks kan men bij gegeven x de fout wel zéér klein, maar niet willekeurig klein maken. (Bij x = 100 geeft de reeks het gezochte getal niet in meer dan 42 decimalen nauwkeurig!). Maar wél kan men bij gegeven termaantal de fout weer willekeurig klein maken door x voldoend groot te kiezen. Wil men bijv. met 100 termen een nauwkeurigheid in 80 decimalen bereiken — al is een zo grote nauwkeurigheid practisch nooit nodig —, dan kan men dit bereiken door bijv. x groter dan 250 te kiezen.
Bij het onderzoek van allerlei functies, bijv. functies van Bessel, zijn asymptotische ontwikkelingen dan ook van zeer groot belang. In Nederland is dit gedeelte van de wiskunde vooral door J. G. van der Corput, S. C. van Veen en C. S. Meyer onderzocht.
PROF. DR D. VAN DANTZIG.
