noemt men in de Significa volgens G. Mannoury een definitie, wanneer deze een beknopte formulering van algemeen voorkomend woordgebruik inhoudt, in tegenstelling tot een synthetische definitie, d.i. een voorstel tot nieuw woordgebruik.
Een analytische definitie heeft het karakter van een bewering omtrent bestaande taalgewoonten, en dient dus vergezeld te gaan van overtuigingsmiddelen („bewijzen”, niet in de zin der logica of wiskunde, maar in de zin der ervaringswetenschappen), die haar juistheid aantonen. Bij een synthetische definitie daarentegen heeft het geen zin, naar haar juistheid te vragen; hier dient alleen de doelmatigheid van het voorgestelde woordgebruik te worden aangetoond. De in de wiskunde voorkomende definities zijn steeds synthetisch van aard. Als criterium voor doelmatigheid wordt in de wiskunde doorgaans de eis gesteld, dat de gedefinieerde begrippen in wiskundige zin bestaan (existentiebewijs). Verwarring van synthetische en analytische definities kan tot schijnproblemen aanleiding geven. (De hier gegeven definities van de termen „analytisch” en „synthetisch” hebben zelf een synthetisch karakter). Deze termen worden in de hier omschreven zin niet slechts op definities van afzonderlijke termen toegepast, maar algemener op de significa zelve, dus op analyse van omvangrijke woordcomplexen, en de invoering van grote groepen nieuwe termen (analytische en synthetische significa).PROF. DR D. VAN DANTZIG
Analytische functie wordt een functie in de wiskunde dan genoemd, indien zij (althans in een deel van haar definitiegebied) door de som van een convergente machtreeks kan worden voorgesteld, dus voor een functie van één variabele z.
Zulk een reeks convergeert: hetzij alleen voor z = a, in welk geval zij geen analytische functie bepaalt (voorbeeld: cn = n!), hetzij voor alle (reële en) complexe waarden van z (gehele functie; voorbeeld: cn = (1/n)!, dus f(r) = ez), hetzij voor alle complexe z met (z — a) < R, waarin R een positief getal is. (Voorbeeld: cn = 1, R = 1). Heeft hierin R de grootst mogelijke waarde (convergentiestraal), dan convergeert de reeks dus (als de complexe getallen door de punten van het complexe getallenvlak worden voorgesteld) in alle punten z binnen een cirkel (convergentiecirkel) met straal R en middelpunt a. Zij kan ook in sommige punten van de convergentiecirkel zelf convergeren.
Is b een punt binnen de convergentiecirkel, dan kan f(z) ook volgens een machtreeks naar z — b ontwikkeld worden. Deze kan een convergentiecirkel hebben die gedeeltelijk buiten de oorspronkelijke uitsteekt. Door dit proces (analytische voortzetting) zo mogelijk en zo nodig verder voort te zetten, worden alle punten, waar f(z) een eindige waarde heeft, bereikt.
Voor de verdere eigenschappen der analytische functies, die in de zgn. complexe functietheorie bestudeerd worden moet naar een leerboek over dit gebied, of naar een der uitvoerige algemene leerboeken der analyse verwezen worden.
De analytische functies zijn onder de naam „fonctions synectiques” het eerst systematisch door Cauchy onderzocht (1825).
De theorie der analytische functies van twee of meer veranderlijken is nog veel minder volledig bekend. In de laatste decenniën hebben vooral H. Behnke en zijn leerlingen en Henri Cartan op dit gebied zeer belangrijk werk verricht.
PROF. DR D. VAN DANTZIG
Lit.: Ch. van Os, Inleiding tot de Functietheorie (Groningen 1935); E. Picard, Traité d’Analyse, dl 2 (Paris 1893); A. Hurwitz en R. Courant, Vorlesungen über allgemeine Funktionentheorie und elliptische Funktionen (Berlin, 2. Aufl. 1925); W. F.
Osgood, Lehrbuch der Funktionentheorie (Leipzig, dl 1, 1907, 5de dr. 1928, dl 2, 1 1924, dl 2, 2 1932); H. Behnke und P. Thullen, Theorie der Funktionen mehrerer komplexen Veränderlichen (Ergebnisse der Math, und ihrer Grenzgebiete, dl 3, afl. 3, Berlin 1934).
Analytische mechanica (in het Frans Méchanique rationelle) noemt men dat gedeelte der mechanica, dat kan worden verkregen door uit te gaan van zeer algemene formuleringen der vergelijkingen voor het evenwicht en de beweging (evenwichts- en bewegingsvergelijkingen), van stelsels, bestaande uit een eindig aantal stoffelijke punten of vaste lichamen, en waarin de verdere eigenschappen dezer systemen op zuiver wiskundige wijze met behulp van de differentiaal- en integraalrekening (analyse) worden verkregen. Verschillende der hier bedoelde algemene formuleringen werden eertijds principes of beginselen genoemd (bijv. beginsel van d’Alembert). De belangrijkste gedeelten der analytische mechanica omvatte de theorie der vergelijkingen van Lagrange, der vergelijkingen van Hamilton of kanonieke vergelijkingen, en voorts der vergelijking van Hamilton-Jacobi, der haaksymbolen van Poisson, en de toepassingen van de theorie der contacttransformaties van S. Lie en der integraalinvarianten van H. Poincaré.
De mechanica der quanta, in het bijzonder in de vorm waarin zij door E. Schrödinger is opgebouwd, is als een rechtstreekse voortzetting en uitbreiding der analytische mechanica te beschouwen.
PROF. DR D. VAN DANTZIG
Lit. E. T. Whittaker, A treatise on the analytical dynamics of particles and rigid bodies. With an introduction to the problem of three bodies (Cambridge 1904, 4th. ed. 1937) (ook in Duitse vertaling, Berlin 1924).
Analytische meetkunde is die methode van beoefening der meetkunde, waarbij de punten in de ruimte of in het platte vlak worden voorgesteld door hun coördinaten, d.z. getallen, waardoor de ligging dier punten ten opzichte van vooraf gegeven andere figuren wordt bepaald, terwijl dan verder uitsluitend met deze coördinaten (onder toepassing der algebra en der analyse) wordt gewerkt.
VLAKKE MEETKUNDE
Het meest gebruikelijke coördinatensysteem in het platte vlak is het Cartesische, waarbij een punt wordt voorgesteld door zijn afstanden x en y (abscis en ordinaat genoemd) tot twee onderling loodrechte lijnen (de coördinaat-assen), waaruit volgt, dat iedere vergelijking van de eerste graad in X en y (bijv. Ax + By + C = 0) een rechte lijn voorstelt. Voorts kan bewezen worden, dat een vergelijking van de tweede graad (bijv. Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2DX + 2Ey + F = 0) steeds een ellips, een hyperbool, een parabool of wel twee evenwijdige, twee elkander snijdende of twee samenvallende lijnen voorstelt, indien wij het geval buiten rekening laten, dat slechts één of in het geheel geen punt aan de vergelijking voldoet. De vergelijkingen van hogere graad stellen zgn. algebraïsche krommen in het algemeen voor. Behalve de eigenschappen dezer rechte of kromme lijnen op zichzelve worden in de analytische meetkunde ook die van zgn. „stelsels” van kromme lijnen beschouwd, waarbij zulk een stelsel wordt voorgesteld door een vergelijking, die behalve de coördinaten x en y ook nog één of meer parameters bevat, d.z. grootheden, die als constanten beschouwd, een bepaald exemplaar van het stelsel vastleggen, doch alle mogelijke waarden moeten doorlopen, om het gehele stelsel voort te brengen. Onder de voornaamste eigenschappen der kegelsneden behoren die, welke met de poolverwantschap in verband staan, welke eigenschappen met enige beperkingen en wijzigingen ook op krommen van hogere graad kunnen worden toegepast.
RUIMTEMEETKUNDE
In de ruimte bezigt men eveneens een Cartesisch coördinatensysteem, waarbij nu evenwel aan een punt drie coördinaten (x, y en z) moeten worden toegekend, die de afstanden van dat punt tot drie elkander loodrecht snijdende vlakken (de coördinaatvlakken) voorstellen. Een vergelijking van de eerste graad (bijv. Ax + By + Cz + D = 0) stelt nu een plat vlak voor, terwijl een rechte lijn door twee zulke vergelijkingen wordt bepaald. De vergelijkingen van hogere graad stellen nu zgn. algebraïsche oppervlakken in het algemeen voor, waaronder die van de tweede graad, de zgn. quadratische oppervlakken het meest bestudeerd zijn. De kromme lijnen in de ruimte of zgn. ruimtekrommen worden ieder door twee vergelijkingen in x, y en z bepaald. Treden in de vergelijkingen, behalve de coördinaten, ook nog parameters op, dan spreekt men ook hier van stelsels van krommen of oppervlakken.
TRANSFORMATIE VAN COÖRDINATEN
Een belangrijk hulpmiddel in de analytische meetkunde is het gebruik maken van andere coördinaten dan de bovengenoemde, en wel in de eerste plaats van de zgn. projectieve coördinaten, voor het platte vlak, ook wel driehoekscoördinaten en in de ruimte viervlakscoördinaten genoemd, omdat zij de afstanden van het punt tot de zijden van een driehoek, resp. tot de zijvlakken van een viervlak voorstellen, doch alleen voorzover de verhouding dezer afstanden (ieder met een afzonderlijke lengte-eenheid gemeten) betreft. Hieruit vloeit voort, dat in het platte vlak ieder punt nu drie en in de ruimte vier coördinaten heeft, doch tevens, dat deze coördinaten in alle vergelijkingen homogeen zullen optreden, d.w.z., dat iedere term der vergelijking evenveel coördinaatfactoren bevat, terwijl de graad der vergelijking door het invoeren der projectieve coördinaten niet gewijzigd is. De formules, waardoor men van Cartesische coördinaten op een stelsel projectieve coördinaten overgaat, heten transformatieformules en zijn in dit geval van de eerste graad (lineaire transformatie). Deze zelfde formules kunnen ook opgevat worden als ue uitdrukking van een vervorming en verplaatsing der figuren zelve met behoud van het coördinatenstelsel (punttransformatie). De eigenschappen der figuren, die bij zodanige vervorming bewaard blijven, heten invariante eigenschappen. De voor projectieve transformatie invariante eigenschappen vormen te zamen genomen de projectieve meetkunde.
UITBREIDINGEN DER ANALYTISCHE MEETKUNDE
Door aan de coördinaten ook de betekenis van complexe getallen toe te kennen en bovendien hun aantal willekeurig te vermeerderen, wordt een analytische meetkunde verkregen, die van veel wijder strekking is dan de eigenlijke meetkunde, zoals die aan de natuurverschijnselen betreffende de vaste lichamen en de lichtstralen ontleend is (euclidische meetkunde), doch die dan ook uitsluitend een algebraïsche betekenis heeft. Een andere uitbreiding van de analytische meetkunde wordt verkregen door niet enkel aan punten, maar ook aan andere figuren (in de eerste plaats aan lijnen en vlakken) coördinaten toe te kennen, waardoor hun ligging wordt bepaald. Het gedeelte der analytische meetkunde waarbij de differentiaal- en integraalrekening wordt toegepast, wordt ook wel infinitesimaal meetkunde of differentiaalmeetkunde genoemd en afzonderlijk beoefend.
GESCHIEDENIS
De grondleggers der analytische meetkunde zijn Pierre Fermat en Descartes (1596-1650). Het naar Descartes genoemde Cartesische coördinatensysteem komt niet bij Descartes, maar wel bij Fermat voor. Descartes’ werk La Géométrie, toegevoegd aan zijn beroemde Discours de la Méthode (1637), is minder methodisch en helder dan Fermat’s Isagoge ad locos planos et solidos (1635), maar geeft wel verderstrekkende resultaten. In de nieuwere tijd hebben inzonderheid J. Plücher, O. Hesse, A.
F. Möbius, H. Grassmann, G. Salmon, L. Cremona, Cayley en Felix Klein belangrijke hoofdstukken aan de analytische meetkunde toegevoegd.
PROF. DR G. MANNOURY
Lit.: J. G. Rutgers, Inleiding tot de analytische meetkunde (2 dln, Groningen); J. Wolff, Inleiding tot de analytische meetkunde van het platte vlak; J. A. Barrau, Analytische meetkunde (2 dln, Groningen); Salmon-Fiedler-Dingeldey, Analytische Geometrie der Kegelschnitte (2 dln, Leipzig); O.
Schreier en E. Sperner, Einführung in die analytische Geometrie und Algebra, (2 dln, Hamburg 1935); J. L. Coolidge, A history of geometrical methods (1940).
