Verzameling noemt men, volgens Georg Cantor (1845-1918), elke samenvatting van onderscheidbare objecten van onze aanschouwing of van ons denken tot één geheel. Zo is bijv. het geheel van 8 dingen: 5 appels, 2 peren en 1 noot, een verzameling bestaande uit de 8 genoemde elementen. We kunnen deze op een rij gerangschikt denken (bijv. een eerste appel, een tweede appel,..., en ten slotte een noot).
Zien we af van het bijzondere karakter van de afzonderlijke elementen, dan is de verzameling te beschouwen als een ordeschema: ten eerste, ten tweede, ..., ten achtste. Ten slotte kunnen we — behalve van het bijzondere karakter van de elementen der beschouwde verzameling— ook nog van hun rangschikking afzien; het enige kenmerk van de beschouwde verzameling dat dan overblijft, is het aantal van de tot de verzameling behorende elementen, het kardinaalgetal van de verzameling, dat in het beschouwde geval 8 bedraagt.De tot een verzameling behorende elementen behoeven natuurlijk geen concrete objecten te zijn of — zoals in het zojuist beschouwde voorbeeld — door een abstractieproces uit concrete objecten verkregen te zijn. Ook van nature abstracte entiteiten (bijv. natuurlijke getallen, reële getallen, reële functies) kunnen als element van een verzameling optreden. Op deze wijze kan men oneindige verzamelingen (ook wel verzamelingen van oneindig kardinaalgetal genoemd) verkrijgen. Hiertoe behoren bijv. de verzameling van alle natuurlijke getallen en de verzameling van alle reële getallen. Een der grote ontdekkingen van Cantor is, dat de kardinaalgetallen der beide genoemde verzamelingen, hoewel beide oneindig, toch niet aan elkaar gelijk zijn. In de beschouwde gevallen werden telkens bepaalde objecten gegeven gedacht; vervolgens werd een verzameling gevormd, die deze objecten tot element had.
De abstracte verzamelingsleer, waarvan de beginselen op Cantor teruggaan, keert de volgorde om. Dit lijkt onmogelijk, omdat men immers objecten moet hebben, om deze tot een verzameling te kunnen samenvatten. Maar dit argument blijkt niet steekhoudend. Want reeds Cantor kwam er toe, de zgn. nulverzameling in te voeren, die geen enkel element bevat. Het bestaan van de nulverzameling onderstelt blijkbaar niet het bestaan van een object dat element van deze verzameling zou moeten zijn. Is nu het bestaan van de nulverzameling a0 verzekerd, dan kunnen we a0 beschouwen als een object, en we kunnen een verzameling ax vormen, die a0 tot enig element heeft.
Nu is ax verschillend van a0 (want a0 bevat geen enkel element, terwijl ax wel een element, nl. a0, bevat) en dus is ax als een tweede object te beschouwen. We kunnen nu de twee beschikbare objecten a0 en ax tot een derde verzameling a2 samenvatten; vervolgens vatten we a0, ax en a2 tot een vierde verzameling a3 samen; enz.
Op grond van de zojuist beschreven voortbrenging van steeds nieuwe verzamelingen kunnen we nu de theorie der (eindige en oneindige) kardinaalgetallen ontwikkelen. Vervolgens kunnen we ons voorstellen, dat de elementen van een verzameling gerangschikt worden en de mogelijke rangschikkingen van de elementen ener verzameling bestuderen; we komen dan tot de leer van de ordetypen en de ordegetallen, die door Cantor reeds tot grote hoogte ontwikkeld is.
(Zulk een rangschikking behoeft niet „van buitenaf” aan de elementen der verzameling te worden opgelegd. Bij de geschetste autonome opbouw van de verzamelingenleer is de mogelijkheid van een rangschikking van nature aanwezig. Men schrijft „meM” om aan te geven dat m een element van de verzameling M is. We merken op, dat bij de autonome opbouw van de verzamelingsleer alle elementen van een verzameling M zelf ook weer verzamelingen zijn. Het kan dan voorkomen, dat de elementen x, y, z, ... van een verzameling M door de relatie e worden gerangschikt, of, met andere woorden, dat de relatie e binnen M de eigenschappen ener orderelatie heeft; dat wil zeggen, voor alle elementen x, y, z van M geldt: (1) niet xex; (2) als xey en yez, dan xez; (3) als niet xey en niet yex, dan x = y. Als voorbeeld noemen we de hierboven beschouwde verzameling a3 [met de elementen a0, ax en a2; we hebben immers: a^ea^ a0ea3, axea3, niet a0ea0, niet axea0, niet a2eao, niet axeax, niet a2eau niet a2ea2.)
We merken ten slotte op, dat van intuïtionnistische zijde (H. Poincaré, E. Borel, L. E. J. Brouwer e.a.) tegen de door Cantor en zijn volgelingen gegeven opbouw van de verzamelingsleer verschillende bezwaren zijn aangevoerd, en dat L.
E. J. Brouwer een nieuwe intuïtionnistische verzamelingsleer heeft opgebouwd.
PROF. DR E. W. BETH
PROF. DR F. LOONSTRA
Lit.: E. Borel, Leçons sur la théorie des fonctions (Paris 1898) ; L. E. J. Brouwer, Zur Begründung d. intuitionistischen Mathematik (Mathem. Annalen 93,95,96) ; G.
Cantor, Gesamm. Abhandl., uitg. d. E. Zermelo (Berlin 1932); A. A. Fraenkel, Abstract Set Theory (Amsterdam 1953); B.
P. Haalmeijer en J. H. Schogt, Inleiding t. d. leer d. verzamelingen (Groningen 1927); H. Hahn, Reelle Funktionen I (Leipzig 1932); F. Hausdorff, Grundzüge der Mengenlehre (Leipzig 1914).
