Elliptische integralen - Deze zijn van den vorm …., waarin R(t) een rationalen vorm in t voorstelt. Ze zijn het eerst onderzocht naar aanleiding van het vraagstuk: den boog van een ellips, hyperbool, lemniscaat te bepalen, vandaar de naam. Men herleidt de elliptische integralen in den regel tot enkele standaardtypen, bijv. de integralen van Legendre 1e soort:
2e soort:
3e soort:
k heet de modulus, cp de amplitude, n de para-meter.
Men heeft ook de integraal van Weierstrass: u = … .waaruit door) … omkeering de elliptische functie v = p(u) vanWeierstrass volgt (zie ellipt. functies). De integralen … heeten complete elliptische integralen v. d. 1e soort; E(k, ~) en E (Vl-k,^~) complete elliptische integralen van de 2e soort. Men heeft …. waarin … of door te stellen t — sim, v = sinep: F (k, <p) = Behalve bij de bepaling van de booglengte van de ellips komen de elliptische integralen voor in verschillende vraagstukken der theoretische mechanica, o.a. bij de slingerbeweging. De leer der elliptische integralen is na Fagnano, Landen, D’Alembert, Mac-Laurin, het eerst stelselmatig bestudeerd door Euler en vooral door Legendre, die ze elliptische functies noemde, welke naam tegenwoordig gegeven wordt aan hun omkeering.
