Functie - 1) (biologie). Bij levende wezens kan men onderzoeken of een bepaald deel een rol vervult bij het levensproces; men spreekt dan van de functie van het orgaan. Deelen zonder functie worden herhaaldelijk aangetroffen, b.v. de meeldraden bij planten, die zonder bestuiving kiembaar zaad opleveren (paardebloem, enz.). Hun aanwezigheid wordt over het hoofd gezien, of met hulp-hypothesen verklaard door de aanhangers van de teleologische beschouwing der natuur, die aan elk deel een functie toekennen en dan ook het begrip morphologie vervangen hebben door organographie.
2) (wiskunde), afhankelijkheidsbetrekking. Onderwerpt men een getal x aan eenige bewerkingen, dan zal de uitkomst een vorm zijn, die verschillende waarden aanneemt, wanneer men voor x telkens een ander getal neemt; bijv. x2 neemt voor x = 1, 2, 3, 4,.. resp. de waarden 1, 4, 9,16,.. aan. Zulk een vorm nu, die ontstaan is uit een reeks bewerkingen toegepast op een getal x, is een van x afhankelijke grootheid ea heet een functie van x. In ’t algemeen noemt men een grootheid y een functie van x, wanneer de waarde van y afhangt van de waarde, die men aan toekent. Voorbeelden van functies van zijn y = x2 y = Vx + y = y = Asin cox + Bcos cox, y — a log (x—a) + /J log (x—b)
hierin stelt x de onafhankelijk veranderlijke voor, y de afhankelijk veranderlijke; de andere letters worden geacht constant te zijn, d. w. z. hun waarden te behouden gedurende het veranderingsproces dat x en dus ook y ondergaat. Wil men zich niet uitlaten over de bijzondere wijze, waarop y van x afhangt, wil men dus alleen te kennen geven, dàt y van x afhangt, dàt y een functie is van x, dan schrijft men y = f (x)
y = F (x)
y = cp (x)
enz.
Bijzondere functies worden dan ook wel aangewezen door een bijzonder functieteeken, bijv. de gammafunctie r (x), de integraallogarithme Li(x). — Functies, waarbij de bewerkingen uitsluitend bestaan uit optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en deelen, heeten rationale functies, bijv.
r——. —=— + 2, hun meest algemeene gedaante is a0 xm -fal xm 1 -f.... -fam—i x -füm b0 x» + ^ x"—1 + bn—! x + bn (ak, bk const.). Voegt men aan deze bewerkingen nog de worteltrekking toe, zoodat alle algebraïsche bewerkingen zijn toegelaten, dan krijgt men irrationale (onmeetbare) functies, bijv.
Vx,!^ a J6x + cxa, rx + s A/ x +t enz.
Hierbij is ondersteld, dat de worteltrekkingen toegepast worden op vormen, die zelf van x afhangen. Zoo zijn xV2 xV3 + A/2 rationale functies van x. Rationale en irrationale functies heeten samen algebraïsche functies.
Naast de algebraïsche functies zijn er nog tallooze andere klassen van functies, welke alle tezamen worden begrepen onder den naam: transcendente functies. De eenvoudigste transcendente functies zijn de exponentieele f., (bijv. 4®, e“®), waarbij x in den exponent voorkomt, de logarithmische f. (bijv.: log x, a log (x—a)+fl log (x—J>), de goniometrische f. (bijv.: sin x, cos x, lg x, Asin cox+ JS cos cox), de cyclometrische f. bijv. bgsin x, bgcos x, bg tg x, bgtg 1 — 2x bgsin Va2 — x2).
Evenmin als men deze eenvoudige transcendente functies kan uitdrukken met behulp van een eindig aantal algebraïsche bewerkingen, evenmin kunnen de meeste andere transcerdente f. uitgedrukt worden met behulp van algebraïsche en de eenvoudige transcendente f. Hun definities bevatten dus nieuwe bewerkingen, bijv. integralen: de kansfunctie 0 (x) = ■4= r vOï J o dt uit de waarschijnlijkheidsrekening, de integraallogarithme L{ix) uit de getallentheorie, de gammafunctie I (x) of wel de functie wordt gedefinieerd als oplossing van een zekere differentiaalvergelijking: bijv.
de bolfunctie y = Pn (x) van Legendre uit (1 — x!) — 2x ^ -f -f n(n -fï)y => 0 de hypergeometrische functie 11 = F (a, 0, ri x) uit x (1 x) 0 + e j y — (1 + a -f/?) x | — a0y — 0 In den regel tracht men de transcendente functie uit te drukken in een oneindig voortloopende reeks naar opklimmende machten van x, liefst zóódanig, dat deze reeks convergent is, dus bruikbaar om de waarde der functie te berekenen; zoo bijv.
sinx = x — x x‘ de hypergeometrische functie ….
deze beide laatste reeksen zijn convergent voor — 1 < x < + 1. Onder de transcendente functies nemende elliptische f. een voorname plaats in.
In de functientheorie worden de functies geklassificeerd naar hun verwantschappen, en tevens wordt het veranderingsgebied van x uitgebreid over alle complexe getallen.
Men kan zich voorstellen, dat een grootheid z van twee grootheden x en y afhangt, bijv.
men noemt dan z een functie van de twee onafhankelijk veranderlijken x en y en schrijft in ’t algemeen: z = / (x, y), z = F (x, y), enz. Evenzoo kan men een grootheid w laten afhangen van 3 veranderlijken x, y, z, bijv.:
w =. “fy 2 x — 2 = ~7= e ,w = anx2+ any2+a„ z2+ Vxy— z + 2ai3yz 42alsxz+ 2auxy, enz.;
In ’t algemeen w = ƒ (x, !/> z).
In ’t algemeen kan men ook functies van n veranderlijken x1, x2, .. x» beschouwen bijv.
y — 1 (Xj, xa, .. x«).
Stelt men een functie van 2 veranderlijken F (x, y) gelijk aan een constante, bijv. aan 0, dan wijst de vergelijking F (x, y) = 0 een afhankelijkheid aan tusschen x en y. Uit deze vergelijking kan men y oplossen inx en dus y schrijven als „expliciet e” functie van x .. y = f (x)
maar even goed kan men x schrijven als (expliciete) functie van y .. x — = g (y)\ beide betrekkingen y = / (x) en x = y(y) drukken hetzelfde uit als de oorspronkelijke vergelijking F (x, y) =0, die y geeft als „impliciete” functie van x en x als impliciete f. van y. De twee functies f en g heeten elkaars omgekeerde (inverse). Onder ’t functiesymbool/, g, F, .. mag men de onafhankelijk veranderlijke door elke letter aanduiden: / (x), / (y), f (z), .. geven dezelfde afhankelijkheidsbetrekking aan tusschen de grootheden X = f (x), Y = / (y), Z — f (z), .. en de bijbehoorende onafhankelijk veranderlijken x, y, z, .. Men kan dus ook zeggen: als uit y = f (x) volgt x = g (y), dan is de functie / (x) de inverse functie van de functie g (x). Bijv.: x2 — y = 0 geeft y = x2 en x = Vy; de functie /(x) «= x2 is de inverse van g(x) — i/i; y X 10' = 1 geeft y = 10 of x =10 log y, de functies /(x) = 10 en g(x) = 10log x zijn eikaars omgekeerde. Zoo zijn ook sin x en bgsin x inverse functies. De functie y = f(x) voegt aan elke waarde x een waarde y toe ,laat dus als ’t ware y ontstaan uit een zekere bewerking toegepast op x. Onderwerpt men nu y aan dezelfde bewerking, dan ontstaat een grootheid z bepaald uit z = j(y) = / {/(x)}; z is, via y, ook een functie van x, z = fl \x) ; deze heet de iteratie van de functie /(x). Past men nu de „bewerking” / toe op z, dan krijgt men: w = = / [ / { /(x) } ] = / '\x); zoo kan men de iteratie in !t onbepaalde voortzetten. Bijv.: y = x2> z = j/2 = (x 2)2 = x; w = z2 = x8, enz.
