Elliptische functies - Dubbelperiodische functies; men heeft ze verdeeld in verschillende typen:
1. de elliptische functie van Weierstrass p(u). Noemt men de twee perioden 2<w en 26/en stelt men 2 nco + 2 mat’ = w, waarin m en n alle geheele positieve en negatieve getallen kunnen voorstellen, dan is p{u) gegeven door de reeks p(u) -f 3u2 2 ^ + B u' 2 + ....;
u2 w w0 hierin moeten de sommaties 2 uitgestrekt worden over alle mogelijke vormen w, d. w. z. over alle combinaties m, n, behalve de combinatie 0,0. De functie p(u) is reëel voor reëele waarden van u, wanneer hetzij at reëel en 6/ imaginair (of omgekeerd), hetzij o> en at’ toegevoegd complex zijn. Stelt men p(o>) = evp(cu')=e2, P(M +6)') = e3, dan geldt e1+ e2 + e3 == 0. p(u) voldoet aan de differentiaalvergelijking = 4 [p(tt) e,] [p(«) e2] [p(u) e3J.
Stelt men et e2 + c2 e3+e3 . dan geldt g2 en g3 heeten de invarianten van de elliptische functie. De vorm A=3a3~ 27 g2 = 16 (e1 e2)2 (es e3)2(e3 —ej2 heet de discriminant.
II. De elliptische functies van Jacobi zijn sn u (sinus amplitudinis van u), cn u (cosinus amplitudinis van u) en dn u (delta amplitudinis van u). Ze kunnen gedefinieerd worden als omkeeringen van de elliptische integralen De grootheden (de z.g. complete elliptische integralen) hangen samen met de perioden der amplitude-functies: sn u heeft tot perioden 4K en 2iK', cn u heeft 4 K en 4iK', dn u heeft 2K en 4 i K'. De grootheid k heet de modulus. Tusschen sn u, cn u en dn u bestaan nog de betrekkingen snu -fen2 u = 1 ; ksnu ++ dn 2w = 1. De elliptische functies spelen een voorname rol bij het analytisch onderzoek van de eigenschappen der kromme lijnen van het geslacht 1 (bijv. kubische krommen zonder dubbelpunt). De elliptische functies kunnen niet uitgedrukt worden met behulp van de bekende algebraïsche, exponentieele en goniometrische functies. Ze vormen theoretisch een eigen gebied. Ze hebben nog de eigenschap, dat hun additietheorema’s algebraïsch zijn, m. a. w. dat bij een elliptische fuctie f{u) de waarde f(a + b), die de functie heeft voor M = o + 6 geschreven kan worden als een algebraïsche uitdrukking in /(a) en /(i).
De theorie der elliptische functies is ontstaan bij de pogingen om de lengte van den boog van een ellips, hyperbool, lemniscaat, enz. te bepalen. Hieraan ontleenen zo ook hun naam. Oorspronkelijk werden alleen de elliptische integralen onderzocht (Euler, Fagnano, Landen, D’Alembert, Mac-Laurin, Legendre). Abel en Jacobi hebben de eigenlijke elliptische functies (omkeeringen der elliptische integralen) bestudeerd, daarna vooral Weierstrass, terwijl ook Cayley, Hermite, Brioschi, Kiepert, Klein er zich mee bezighielden:
