of oppervlakken van de tweede graad zijn oppervlakken, die in cartesische coördinaten door een vergelijking van de tweede graad a11x2! + a22y2 + a33z3 + + 2 a33yz + 2 a3lzx + 2al2xy + 2a14x + 2 a24ty + + 2a34z + a44 = o of wel symbolisch (z invariant en symbolische schrijfwijze) door (o,)2 = o worden voorgesteld. Door verschuiving van het cartesisch assenstelsel kan de oorsprong naar het middelpunt worden verplaatst (tenzij dit in het oneindige ligt), waardoor de eerstegraadstermen in x,y en z verdwijnen, waarna men door draaiing van het assenstelsel (z transformatie, orthogonale) ook de termen in yz, zx, en xy kan doen verdwijnen en een vergelijking overhoudt van ten hoogste vier termen : Ax‘ + By2 + Cz2 + D = o (vergelijking op de hoofdassen), wat echter het oplossen ener kubische vergelijking vereist.
Al naargelang de coëfficiënten A, B, C, D positief, negatief of nul zijn, verkrijgt men de volgende typen: ellipsoïde, hyperboloïde met één blad (halsvlak) of met twee bladen, kegel, cylinder, vlakkenpaar en dubbelvlak.
In de overblijvende gevallen (A, B, C en D positief of nul) bevat het oppervlak geen enkel reëel punt. Ligt het middelpunt in het oneindige, dan verkrijgt men door orthogonale transformatie de elliptische paraboloïde, de hyperbolische paraboloïde of zadeldak en de parabolische cylinder.
De kwadratische oppervlakken bevatten oneindig veel rechte lijnen (beschrijvenden) en behoren dus tot de regelvlakken. Evenwel zijn deze beschrijvenden bij de positief gekromde kwadrieken (z kromming), nl. de ellipsoïde, de tweebladige hyperboloïde en de elliptische paraboloïde, imaginair. Bij de negatief gekromde (halsvlak en zadelvlak) komen twee stelsels reële beschrijvenden voor, die bij de kegels en cylinders in één stelsel samenvallen (z cirkeldoorsneden en strictielijn).
Enkele eigenschappen der kwadratische oppervlakken (vnl. die der omwentelingskwadrieken) waren reeds aan de oude Grieken bekend, maar eerst na de opkomst der analytische meetkunde kon van een stelselmatig onderzoek dezer oppervlakken (waartoe inzonderheid Leonhard Euler veel heeft bijgedragen) sprake zijn.
Een bundel kwadratische oppervlakken kan worden voorgesteld door een vergelijking van de vorm/ (x,y, z, t) + kg (x,y, z, t) = o, waarin/en g kwadratische functies van de homogene coördinaten (x,y, z, t) zijn, of symbolisch door X (ax)2 + fi (bx)2 = o ofwel ((ka + ib)x}2 = o. De vergelijkingen/ = o eng = o stellen te zamen de basiskromme voor, waar alle oppervlakken van de bundel doorheen gaan, en door de hessiana van de bundelvergelijking (de bundelhessiana) gelijk nul te stellen, vindt men de vier kegels van de bundel (kegels van Poncelet).
Lit.: Archimedes, Ueber Paraboloide, Hyperboloide und Ellipsoide (vertaling van A. Czwalina; Leipzig 1923); O. Hesse, Vorl. über anal. Geom. des Raumes, insbesondere über Oberflächen zweiter Ordnung (2de dr. 1869); G. Darboux, Sur les théorèmes d’Ivory relatifs aux surfaces homofocales du second degré (1872).
