van vier punten P, Q, R en S op een rechte lijn a drukt uit, dat de dubbel ver houding (P, Q,, R, S) van het viertal punten gelijk aan -1 is. Kiest men nl. P en Q op | a, dan heeft elk punt R van a ten opzichte van PR P en Q een deelverhouding XR = QR, waarbij de afstanden PR en QR met inachtneming van een teken worden bepaald; is in onderstaande figuur bijv. PR positief, dan is QR negatief.
Doorloopt R de gehele rechte a, dan neemtA/e alle mogelijke reële waarden aan. Heeft nu een punt S ten opzichte van P en Q de deelverhouding dan noemt men Ai? : As de dubbelverhouding van het viertal punten P, Q,? R en S. Is die dubbelverhouding = — 1, dan hebben R en S dus ten opzichte van P en Q, tegengestelde deelverhouding: A/? = — As of Ai? + As = o. De punten P, £)
P en S noemt men dan een harmonisch puntenviertal. De lijnen, welke die vier punten met een willekeurig centrum verbinden, noemt men een harmonisch stralenviertal.
In een willekeurige driehoek ABC vormen de hoekpunten A en B te zamen met de snijpunten P en Q, van de binnen- en buitenbissectrice (uit C) met de lijn door A en B een harmonisch puntenviertal. Verder neemt de harmonische ligging van punten een belangrijke plaats in bij de studie van poolverwantschappen.
PROF. DR F. LOONSTRA
