Driehoek noemt men eene platte, regtlijnige figuur, tusschen 3 zijden besloten.
Men heeft echter ook bolvormige driehoeken wier zijden deelen zijn van groote cirkels op denzelfden bol; daarover raadplege men het artikel Trigonometrie. Hier spreken wij alleen van zoodanige, die in een plat vlak gelegen zijn. Deze verdeelt men in regthoekige driehoeken (fig. 1), waarvan één hoek regt is of 90° telt, — in stomphoekige (fig. 2), waarvan één hoek stomp is of meer dan 90° heeft, — in scherphoekige (fig. 3), waarvan alle hoeken scherp zijn, — in ongelijkzijdige (fig. 2), waarvan al de zijden onderling ongelijk zijn, — in gelijkbeenige (fig. 4), waarvan 2 zijden onderling gelijk zijn, — en in gelijkzijdige (fig. 5), waarvan al de zijden onderling gelijk zijn.
Bij de regthoekige driehoeken noemt men de zijden, die den regten hoek vormen, regthoekszijden, en de 3de zijde, over den regten hoek gelegen, hypothenuse. Bij gelijkbeenige driehoeken geeft men aan de gelijke 2 zijden den naam van beenen en aan de 3de zijde dien van basis (A B, fig. 4). Bij alle driehoeken heet men doorgaans de onderste lijn de basis en den daartegenover gelegen hoek den tophoek. Eene loodregte lijn, uit den tophoek op de basis vallend, noemt men de hoogte (C D fig. 2, 3, 4, 5).
Wanneer men in een regthoekigen driehoek de ééne regthoekszijde tot basis kiest (A B fig. 1), dan is de andere de hoogte (A C). Is in een stomphoekigen driehoek een der zijden, die den stompen hoek vormen, de basis (A B, fig. 6), dan valt die loodlijn (C D, fig. 6) niet op deze basis, maar op haar verlengde (A D); niettemin blijft zij de hoogte.
Tot de belangrijkste eigenschappen der drie hoeken noemen wij de volgende: De 3 hoeken van een driehoek zijn gelijk aan 2 regte hoeken of aan 180°, — de beide scherpe hoeken in een regthoekigen driehoek zijn te zamen gelijk aan 90°, — in denzelfden driehoek staan over gelijke zijden gelijke hoeken, dus is in een gelijkzijdigen driehoek elke hoek gelijk aan 60°, — dus zijn in een gelijkbeenigen driehoek de 2 basishoeken aan elkander gelijk,— dus is in een regthoekigen gelijkebeenigen drie hoek elk der scherpe hoeken gelijk aan 45°. — Als men eene zijde van den driehoek verlengt (fig. 7), dan is de daardoor gevormde buitenhoek (CBD) met den aanliggende binnenhoek gelijk aan 180°, zoodat de buitenhoek gelijk is aan de 2 overige binnenhoeken te zamen. Wanneer men in een halven cirkel driehoeken beschrijft met de middellijn als basis terwijl de tophoek steeds in den omtrek ligt, dan zijn al deze driehoeken regthoekig en hunne regte hoeken liggen in den top (fig. 8, ADB, ACB).
Driehoeken noemt mn gelijkvormig, wanneer zij bij ongelijke grootte eene gelijke gedaante hebben. — men noemt hen gelijk, wanneer zij denzelfden vlakken inhoud hebben, — en gelijk en gelijkvormig, wanneer zij, op elkander gelegd, elkaar volkomen bedekken. In gelijkvormige driehoeken zijn de hoeken gelijk en de zijden evenredig. Driehoeken zijn gelijk en gelijkvormig, wanneer bij hen alle 3 zijden, — 2 zijden en de ingesloten hoek, of eene zijde en 2 aangelegene hoeken gelijk zijn.
Men berekent den inhoud van een driehoek door de lengte van basis en hoogte met elkander te vermenigvuldigen en van de uitkomst het halve bedrag te nemen. Hieruit volgt, dat driehoeken met gelijke basis en hoogte aan elkander gelijk zijn.
Beroemd in de driehoeksmeting is het theorema van Pythagoras. Het luidt aldus: Als men op elk der zijden van een regthoekigen driehoek een quadraat oprigt, dan is dat der hypothenuse gelijk aan de som van die der regthoekszijden. Om deze stelling te bewijzen trekke men een regthoekigen driehoek ABC (fig. 9) en op elke zijde het bedoelde quadraat; men late vervolgens uit den regten hoek A eene loodlijn afdalen op de hypothenuse en verlenge haar tot aan de benedenzijde van het quadraat (K), en eindelijk verbinde men het punt C met H en A met E. Nu zal men moeten bewijzen, dat het quadraat BCDB gelijk is aan de quadraten ACFG en ABHI te zamen. Door de loodlijn AK is het hypothenuse-quadraat in 2 ongelijke regthoeken verdeeld, en men kan gemakkelijk aantoonen, dat het grootste deel gelijk is aan het quadraat der grootste regthoekszijde en het kleinste gelijk aan dat der kleinste regthoekszijde. Immers driehoek ABE is gelijk en gelijkvormig aan driehoek CBH, want de zijde AB van den driehoek ABE is gelijk aan de zijde BH van den driehoek CBH, voorts is de zijde CB van den driehoek CBH gelijk aan de zijde BE van den driehoek ABE. De hoeken ABE en CBH, door die 2 gelijke paren zijden gevormd, zijn ook gelijk, daar zij uit een regten hoek + dien hoek ABC bestaan.
Derhalve zijn die driehoeken onderling gelijk en gelijkvormig. De driehoek CBHis de helft van het quadraat ABHI omdat het daarmede dezelfde basis en hoogte heeft, — en om dezelfde reden is de driehoek ABE de helft van den regthoek BLKE. Daar nu de beide driehoeken gelijk zijn, volgt er uit, dat gemeld quadraat dezelfde grootte heeft als deze regthoek. Op dezelfde wijze kan men aantoonen, dat het quadraat AGFC gelijk is aan den regthoek KDCL. Voegt men nu de beide regthoeken bij elkaar, dan verkrijgt men het quadraat der hypotenuse, en voegt men de 2 quadraten bij een, dan verkrijgt men de som der quadraten op de beide regthoekszijden, — die sommen zijn aan elkander gelijk, ’t geen te bewijzen was.
Hieruit volgt, dat men de lengte van eene zijde van den regthoekigen driehoek berekenen kan, wanneer de lengten van 2 der zijden bekend zijn. Noemt men de hypothenuse a en de regthoekszijden b en c, dan is volgens het theorema van Pythagoras: a2 = b2 + c2, — alzoo a = √ (b2 + c2), en b2 = a2c2, alzoo b = √ 1/ (a2 — 2). Is nu b = 3 en e = 4, dan is a (de hypothenuse) = √ (9 + 16) = √ 25 = 5. Kent men daarentegen de lengte der hypothenuse als 5 en die van ééne der regthoekszijden C als 4, dan is b (de andere regthoekszijde = √ (25 — 16) = √ 9 = 3.
Tot de belangrijkste eigenschappen van regthoekige driehoeken behooren de volgende: Laat men uit den regten hoek eene loodlijn op de hypothenuse vallen, dan is die loodlijn middenevenredig tusschen de beide aanliggende stukken (segmenten) der hypothenuse. Alzoo is in fig. 10 BD middenevenredig tusschen AD en CD, zoodat men schrijven kan AD : BD = BD : CD. Voorts is in zulk een driehoek elke regthoekszijde middenevenredig tusschen de geheele hypothenuse en het aanliggend stuk (segment) der hypothenuse, of AC : BC = BC : CD, en AC : AB = AB : AD.
Alleen in regthoekige driehoeken kan men uit de lengte van 2 zijden die der derde op zulk eene eenvoudige wijze vinden; bij de scherp- en stomphoekige driehoeken moet men daartoe gebruik maken van trigonometrische functiën (zie onder Trigonometrie).
