Trigonometrie of driehoeksmeting. Over de driehoeksmeting hebben wij reeds onder dat woord de hoofdzaken medegedeeld. Wij hebben deze beschouwd uit een geometrisch oogpunt. De trigonometrie houdt zich echter vooral bezig met de berekening der driehoeken; zij onderstelt derhalve de kennis van de algebra.
In de eerste plaats stelt zij de verhouding vast tusschen de zijden en de hoeken van een driehoek. Eene zijde namelijk is niet uitsluitend afhankelijk van de andere twee zijden, maar ook van de hoeken, en omgekeerd. Onderstel, dat in den gelijkbeenigen driehoek ABC (fig. 1) de lengte der beenen (AB en CA) bekend is. Vraagt men nu naar de lengte van de zijde BC, dan is het duidelijk, dat deze te grooter zal zijn, naarmate de tegenoverstaande hoek grooter is. Men ziet echter, dat de grootten van hoek en zijde niet in dezelfde verhouding toenemen. Verdubbelt men den hoek, dan verkrijgt men den driehoek ABD, maar hier is BB niet dubbel zoo groot als BC. Men moet dus andere lijnen vinden, welke in standvastige verhouding met de hoeken aangroeijen of afnemen. Zij dragen den naam van trigonometrische lijnen en zijn: de sinus, de cosinus, de tangens, de cotangens, de secans, de cosecans en de sinus versus.
Om den aard en de strekking van deze lijnen goed te begrijpen, vestige men zijne aandacht op tegenovergestelde grootheden. Wanneer men zich (fig. 2) in D bevindt, wandele men 7 schreden naar regts om in E te komen, dan tien schreden links naar C, vervolgens 6 schreden links naar B, dan 11 schreden links naar A, daarna 22 schreden regts naar F en eindelijk 4 schreden links naar E. Nu is men slechts 7 schreden van D verwijderd, hoewel men In het geheel 69 schreden afgelegd heeft. Van deze heeft men 7 49 + 22 = 38 naar regts en 10 + 6 + 11 + 4 = 31 naar links gedaan. Om de tegenovergestelde rigting dier schreden uit te drukken noemt men de eene soort positieve en de andere negatieve schreden. Zijn nu de schreden naar regts positieve, dan komt men tot +38 — 31 of tot 7 schreden, die den werkelijken afstand tusschen D en E aanduiden. Twee lijnen van verschillende rigting moeten dus als positief en negatief worden aangemerkt. Wanneer wij (fig. 3) op de lijn AB 4 loodlijnen plaatsen (CE, HF, DG, IK), dan zijn de naar beneden gekeerde negatief, zoodra wij de naar boven gerigte positief hebben genoemd.
Omtrent den sinus vermelden wij het volgende: in den cirkel BDFGCK (fig. 4) zijn twee middellijnen getrokken, die elkander loodregt snijden, BC en FK. Daardoor ontstaan 4 kwadranten: BAF, F AC, CAK en KAB. In het eerste kwadrant is vervolgens een straal AD getrokken, die een hoek a afsnijdt. Laat men nu uit het eindpunt D van dien straal eene loodlijn vallen op den straal AB, dan noemt men die loodlijn den sinus van den hoek a (sin a) en dus ook van den boog BD (sin BD). Wanneer de hoek a toe- of afneemt in grootte, geschiedt datzelfde bij den sinus: voor a = o is ook sin a = o, en voor a = 90° is de sinus gelijk aan den straal, die gewoonlijk = 1 wordt gesteld.
Ook van grootere hoeken moet men den sinus kunnen bepalen: men late de lijn AD met het uiteinde D naar de regter zijde voortrollen tot in G. Onderstel, dat nu hoek a gelijk is aan hoek a. Nu kan men uit G geene loodlijn laten vallen op den straal AB, maar wel op zijn verlengde AC, zoodat men GH verkrijgt. GH is gelijk aan DE en dus de sinus van BAG gelijk aan den sinus van BAD, en daar zij beide aan dezelfde zijde van de middellijn AC liggen, moeten zij beide positief wezen. Men ziet dat hoek BAG het supplement is van hoek BAD, zoodat de sinus van elken hoek gelijk is aan de sinus van zijn supplement. Tevens merken wij op, dat de sinus in het derde en vierde kwadrant negatief wordt. Alzoo is sin. 270° = —1.
De cosinus is het stuk van den straal AB, tusschen het middelpunt van den cirkel en den voet van den sinus DE gelegen, dus de lijn AE. Derhalve AE = cos a. Laat men uit het punt D ook eene loodlijn DL op AF vallen, dan is die loodlijn gelijk aan de eerste en dus DL desgelijks = cos a. Beschouwen wij echter DL in betrekking tot den boog b (het complement van hoek a), dan is DL = sin β, waaruit volgt, dat de cosinus van een hoek gelijk is aan den sinus van zijn complement en omgekeerd of cos. a = sin (90° — a). De cosinus is evenals de sinus alleen afhankelijk van de grootte van den hoek, maar neemt in het eerste kwadrant niet met den hoek toe en af, maar omgekeerd. Voor een hoek van 0° is de cosinus gelijk aan den straal, dus = 1. Men ziet voorts in, dat de cosinus van een hoek gelijk is aan den cosinus van het supplement, en dat cos 180° = —1 is. Het stuk BE tusschen het uiteinde van de loodlijn (den sinus) en den omtrek van den cirkel draagt den naam van sinus versus. BE of sin vers a — 1 — cos a.
Omtrent den tangens het volgende: rigt men in het punt B eene loodlijn op, zoo heeft deze slechts één punt met den cirkel gemeen en is alzoo raaklijn aan den cirkel. Verlengt men voorts de zijde AD van den hoek a totdat zij deze raaklijn ontmoet, dan ontstaat de regthoekige driehoek ABM en de lijn BM wordt de tangens van hoek a genoemd (tang a).
Ook de tangens moet met den hoek toe- en afnemen in grootte, evenals de sinus. Is a — 0, dan is ook tang a = 0, en bij a = 90° wordt de tangens oneindig (tang 90° = ∞). In het eerste en derde kwadrant is de tangens positief, in het tweede en vierde negatief. Voorts wordt de tangens = 1, wanneer a eene waarde erlangt van 45°.
De secans van den hoek a is het stuk AM, hetwelk door den tangens wordt afgesneden van den verlengden straal, en de cosecans is de secans van het complement, alzoo sec a = AM en cosec α = sec b = AO. De cotangens eindelijk is de tangens van het complement, dus cotang a — tang β = OF.
Wij hebben gezien, dat bij eene bepaalde lengte van den straal de waarde der trigonometrische lijnen afhankelijk is van de grootte van den hoek. Slechts van weinige hoeken, namelijk van die van 0°, 45°, 90°, 180°, 270° en 360° kennen wij echter de waarde, en die van de trigonometrische lijnen der overige hoeken moet door berekening gezocht worden. Hierdoor zijn de bekende trigonometrische tafels ontstaan, die aan den berekenaar een groot gemak verschaffen, te meer daar zij in logarithmen zijn uitgedrukt.
Thans zullen wij aanwijzen, hoe met hulp der trigonometrische lijnen een driehoek kan berekend worden. Wij vestigen hierbij het oog op den regthoekigen driehoek, waarbij drie grondstellingen in aanmerking komen, namelijk: 1. In elken regthoekigen driehoek is de regthoekszijde gelijk aan de hypothenuse, vermenigvuldigd met den sinus van den over die regthoekszijde gelegen hoek. Diensvolgens is in den driehoek ABC (fig. 5) de regthoekszijde AC gelijk aan de hypothenuse AB, vermenigvuldigd met den sinus van hoek b (AC = AB sin b). Om dit te bewijzen, trekt men met den straal BD, die = 1 wordt gesteld, een cirkel en daarna de loodlijn DE. Dan is BD = 1 en DE = sin b. Nu zijn de driehoeken DEB en ACB gelijkvormig, zoodat men de evenredigheid heeft 1: AB = sin b: AC. Derhalve is AC = AB sin b. — 2. In elken regthoekigen driehoek is de regthoekszijde gelijk aan de hypothenuse, vermenigvuldigd met den cosinus van den aan die regthoekszijde aanliggenden hoek, alzoo BC = AB cos b. Immers BE = cos b en BD 1, derhalve 1: AB = cos b: BE of BC =: AB cos b. — 3. In elken regthoekigen driehoek is de regthoekszijde gelijk aan de andere regthoekszijde vermenigvuldigd met den tangens van den tegenover eerstgenoemde regthoekszijde gelegen hoek, derhalve AC = BC tang b. Nu plaatst men in F op BC eene loodlijn, dan is FG = tang b en BF = 1. Hier heeft men dus 1: BC = tang b: AC of AC = BC tang b. Met hulp van deze grondstellingen kan men elken regthoekigen driehoek berekenen. Hier toch is reeds één hoek, namelijk de regte hoek = 90° gegeven, zoodat men daarenboven slechts twee andere daarvan en onderling onafhankelijke gegevens noodig heeft.
Er kunnen gegeven zijn: de hypothenuse en een scherpe hoek, — eene regthoekszijde en een aanliggende scherpe hoek, — eene regthoekszijde en de tegenoverstaande scherpe hoek, — de hypothenuse en eene regthoekszijde, — en de twee regthoekszijden. Deze vijf gevallen brengt men tot vier terug, wanneer men bedenkt, dat tegelijk met den eenen scherpen hoek ook de andere gegeven is, omdat ze zamen 90° tellen. Tot oplossing van deze vier gevallen zijn de vermelde grondstellingen voldoende. Is bijv. van een regthoekigen driehoek ABC (fig. 6) de hypothenuse AC en de scherpe hoek c gegeven, dan heeft men a = 90° — c. AB = AC sin e, BC = AC cos c, en de oppervlakte van den driehoek $$ABC = \frac{AB \cdot BC}{2} = \frac{ AC \sin(c) \cdot AC \cos(c) = \frac{1}{2} AC2 \sin(c) \cos(c)$$ Ook de overige gevallen worden op dergelijke wijze opgelost. Gelijkbeenige driehoeken kan men door eene loodlijn uit den top op de basis te laten vallen in twee overeenkomstige regthoekige driehoeken verdeelen, en op dezelfde wijze splitst men een scheefhoekigen driehoek in twee niet overeenkomstige regthoekige driehoeken, waarna men op elk van die deelen boven vermelde berekeningswijze kan toepassen. Men heeft uit deze een aantal eenvoudige formules afgeleid, welke in de leerboeken te vinden zijn.
